最小二乘法拟合

–26–Ⅱ基本概念与数据处理4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。(1)求回归直线设直线方程的表达式为：bxay(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：111bxayd222bxaydnnnbxayd显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=……=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小，也就是考虑d1+d2+……+dn为最小，但因d1、d2、……、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+|d2|+……+|dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d12+d22+……+dn2对a和b为最小时，d1、d2、……、dn也为最小。取（d12+d22+……+dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。令niidD12＝2112][iininiibaydD(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为：][211niiniixbnayaD][21211niiniiniiixbxayxbDⅡ基本概念与数据处理–27–再求二阶偏导数为：naD222；niixbD12222显然：0222naD；021222niixbD满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011niiniixbnay(2-6-3)01211niiniiniiixbxayx(2-6-4)引入平均值：niixnx11；niiyny11；niixnx1221；niiiyxnxy11则：0xbay02xbxaxy（2-6-5）解得：xbya（2-6-6）22xxyxxyb（2-6-7）将a、b值带入线性方程bxay，即得到回归直线方程。(2)y、a、b的标准差在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：–28–Ⅱ基本概念与数据处理2)(21212nabxyndniiiniiy(2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)yyniiniiniiaxxnxxxnx)()(222211212(2-6-9)yyniiniibxxnxxnn)(1)(222112(2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：))((2222yyxxyxxyr（2-6-11）r值在0|r|≤1中。|r|越接近于1，x、y之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。|r|接近于0，则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|r0时，测量数据是非线性的．r0称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-６-2表2-6-2相关系数起码值r0nr0nr0nr031.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|r0，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。Ⅱ基本概念与数据处理–29–例9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为gisRUdRKRR12测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达式。解：测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：2RyUxdRKRbis1gRa数据处理如表2-6-3：表2-6-3Rs＝0.100ΩR1＝4350.0Ωd＝40.0mmi12345678平均值R2(Ω)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.6712522R(104Ω2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U(102ΩV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位：x＝1.67125y＝225.02x＝3.346252y＝6.375×104xy＝461.5625相关系数998.0))((2222yyxxyxxyr查表得知，当n=8时，r0=0.834，两者比较rr0，说明x、y(即U、R2)之间线性相关，可以求回归直线。求回归方程的系数22xxyxxyb＝154.6192304xbya＝-33.4代换aRg＝33.4Ω–30–Ⅱ基本概念与数据处理bdRKRiis＝154.6192304Ki＝dbRRis＝3.7170×10-9A/mm计算标准差为：y＝2.64561902；a＝2.300545589；b＝1.257626418计算不确定度：ΔRg＝a＝2Ω；KKi＝bb＝0.81％；ΔK＝0.03×10－9A/mm测量结果表达式电流计内阻：Rg＝(33±2)ΩggRR＝6.1％电流常数：K＝(3.72±0.03)×10－9A/mmKKi＝0.81％回归方程：R2＝155U－335.计算器在数据处理中的应用在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORASC180型计算器为例作以介绍。（1）计算标准偏差S①标准偏差S的计算器运行公式：12)(111211212nxxxxxxnsniniiniinii因为niixnx11Ⅱ基本概念与数据处理–31–所以1)(2112nnxxsniinii（只有为xi单变量）②操作步骤和方法(ⅰ)按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“STAT1”指示符。(ⅱ)清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。(ⅲ)数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏幕均会显示数据的个数n值。(ⅳ)数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。(ⅴ)取分析结果：[INV][x]：平均值[INV][x]：数据和[INV][x2]:数据平方和[INV][S]：测量列的标准偏差[INV][n]：数据个数例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，试求x、x、x2、S、n。解：按键显示[MODE][0]ST10[INV][ON/C.CE]083.1[DATA]n183.3[DATA]n283.3[DATA]n383.7[DATA]n483.9[DATA]n583.6[DATA]n683.4[DATA]n7–32–Ⅱ基本概念与数据处理83.4[DATA]n883.1[DATA]n983.2[DATA]n10[INV][x]83.4[INV][x]834[INV][x2]69556.22[INV][S]0.262466929[INV][n]10注：当n≥6时，认为＝S。（2）最小二乘法求回归直线①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi两个变量的公式：nxbyaniinii11niiniiniiiniiniixnxyxnyxb1221111)(])(][)([12122112111niniiiniiniiniiniiniiiyynxxnyxyxnr②操作步骤和方法：(ⅰ)按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。屏幕右上角显示“STAT2”指示符。(ⅱ)清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键(ⅲ)双变量数据输入：先键入x的值、按[a]键，然后键入y的值、按[b]键，再按[DATA]键，完成输入。屏幕会同时显示数据的个数，即n值。(ⅳ)数据修正：同单变量数据输入。(ⅴ)取分析结果[INV][a]：回归直线的截距[INV][b]：回归直线的斜率Ⅱ基本概念与数据处理–33–[INV][r]：相关系数还可以取以下值：[INV][x]、[INV][y]、[INV][Σx]、[INV][Σx2]、[INV][Σy]、[INV][Σy2]、[INV][Σxy]，以便计算y、a、b(计算器没有该三项的计算程序)。例11：灵敏电流计实验所测数据如下：RS＝0.100ΩR1＝4350.0Ωd＝40.0mmR2（Ω）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数Ki和内阻Rg。解：测量公式gisRUdRKRR12与线性方程表达式y＝a+bx比较y＝R2x＝U，则：按键显示[MODE][.]ST20[INV][ON/C.CE]02.82{a}400.0[b][DATA]n12.49[a]350.0[b][DATA]n22.15[a]300.0[b][DATA]n31.82[a]250.0[b][DATA]n41.51[a]200.0[b][DATA]n51.18[a]150.0[b][DATA]n60.84[a]100.0[b][DATA]n70.56[a]50.0[b][DATA]n8[INV][a]a-32.12335698[INV][b]b153.8509241[INV][r]r0.9998323336查表知道，当n＝8时，r0＝0.834，rr0，说明U、R2之间线性相关。得到：回归方程R2＝154U－32电流计内阻Rg＝32电流常数K＝3.74×10－9A/mm–34–Ⅱ基本概念与数据处理习题1．指出下列测量结果的有效数字：(1)I＝5010mA(2)C＝2.99792458×108m/s2．按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留3位有效数字：(1)1.005(2)979.499(3)980.501(4)6.275(5)3.1343．单位变换：(1)m＝3.162±0.002kg＝g＝mg＝T(2)θ＝(59.8±0.1)°＝()ˊ(3)L＝98.96±0.04cm＝m＝mm＝µm4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：(1)Y＝(1.96×1011±5.78×109)N/m2(2)L＝(160000±100)m5．按有效数字运算规则计