自动控制 鲁棒控制系统的计算机辅助设计与仿真

第6章鲁棒控制系统的计算机辅助设计与仿真6.1鲁棒控制工具箱介绍6.2鲁棒控制系统概述6.3鲁棒控制系统的设计方法6.4鲁棒控制系统设计实例6.16.1.1鲁棒控制理论是近年来现代控制理论研究的热点和前沿课题。我们知道,在对控制系统进行分析和设计前一般首先需要对被研究的对象进行建模,系统控制器的设计一般是在理想模型的情况下完成的。MATLAB提供的鲁棒控制系统工具箱（RobostControlToolbox）提供了多变量线性鲁棒控制系统分析和设计的函数和工具。研究对象包括存在建模误差、系统参数不确定或动态特性不能完全确定的系统。工具箱提供的功能强大的算法函数可以帮助用户快速完成鲁棒控制系统（主要是线性系统）的复杂计算和设计工作。借助鲁棒控制系统工具箱,我们可以完成的工作包括：1)鲁棒控制系统工具箱（RobostControlToolbox）是建立在控制系统工具箱（ControlSystemToolbox）的基础上的,为用户提供了更为先进的控制算法。它在现代控制理论与实际控制工程之间建立了一座桥梁。该工具箱包括一系列有关鲁棒多变量控制设计方法的实现算法,其研究的重点为多变量频率响应的奇异值和多变量Bode图的分析和绘制。2)系统的不确定性因素具体有外界噪声/干扰信号、传递函数的建模误差以及未建模的非线性动态特性。鲁棒控制系统工具箱可以让用户找到系统在这些不确定性条件下的多变量稳定裕度的度量。使用的方法包括：最优对角缩放、Perron特征向量对角缩放和奇异值方法等。3)经典或现代鲁棒控制系统的设计人员通常采用回路设计（LoopShaping）的系统设计方法来满足系统的设计要求。多变量系统的回路设计方法是通过奇异值Bode图实现的。鲁棒控制系统工具箱提供了各种SISO或MIMO回路设计的方法,诸如LQR、LQG、LQG/LTR、H2和H∞等等。4)有时根据鲁棒控制理论设计出来的鲁棒控制器的阶数很高以至于难于实现,这时通常需要进行控制器的简化。其它模型简化的场合还包括系统模型简化以及大规模系统仿真等等。一个良好的模型简化算法应该同时具有数值鲁棒性和保持闭环系统鲁棒性的能力。鲁棒控制系统工具箱提供的模型简化算法可以满足这些要求。6.1.2在MATLAB的鲁棒控制工具箱中使用了一种特殊的数据结构,即分层数据结构（HierarchicalDataStructure来表示所描述的系统对象。这使得用户可以用一个简单的变量来代表所要研究的系统并进行相关的运算,从而很大程度上方便了用户访问鲁棒控制工具箱中函数的过程。这个变量称为tree类型的变量。下面的M文件函数可以用来创建系统的tree变量：1）mksys该函数可以将代表系统对象的矩阵封装到单个MATLAB变量中。ssg=mksys(ag,bg,cg,dg);TSS=mksys(A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22,′tss′);第一行程序将代表系统状态方程的4个矩阵ag、bg、cg和dg统一用ssg来描述；第二行将二输入输出系统（A,B1,B2…）的状态方程封装到变量TSS中。以在mksys的最后参数中指定所要描述系统的类型。2）branch该函数的基本功能是获取封装在系统或tree变量中的矩阵信息。［D11,C2］=branch(TSS,′d11,c2′);从系统TSS中得到矩阵D11和C2；ag=branch(ssg,′a′);从系统状态方程ssg中获取矩阵ag。如果想一次得到ssg中所有的矩阵,［ag,bg,cg,dg］=branch(ssg);表6.1mksys命令的常见参数3）tree为用户提供了一个创建分层数据结构包括矩阵、字符串甚至其它tree类型的一般工具。例如,如果希望同时保存二输入输出系统(A,B1,B2,…)、控制器(af,bf,cf,df)、频率响应［w;sv］以及这个系统的名称AircraftDesignData,fr=tree(′w,sv′,w,sv);DesignData=tree(′plant,controller,freq,name′,TSS,ssf,fr,′Aircraft...DesignData′);图6.1显示了tree变量DesignData的层次结构。图6.1DesignData的层次结构为了得到tree变量DesignData第一层中的name的变量值,name=branch(DesignData,′name′)ans=AircraftDesignData在RobustControlToolbox的函数中,如果输入参数包含一个tree变量,该函数能够自动检查该变量是否代表某个系统。如果是,那么该函数将自动将该输入变量展开,用它代表的实际系统矩阵来替代原来的系统变量作为函数的输入参数。例如,下面的两行程序实际上完成相同的计算功能：hinf(TSS);hinf(A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22);6.26.2.1奇异值、H2和H∞假设矩阵A∈Cm×n的秩为r,将A*A的非负方根σi称为矩阵A的特征值,其排列次序为σ1≥σ2≥…≥σp,p=min(m,n)。如果r＜p,则矩阵A具有p-r个零奇异值,即120rrp对于任何矩阵A,有**000rAUVUV(6.1)其中，Σr=diag(σ1,σ2,…,σr)。式（6.1）称为矩阵A的奇异值分解（SVD）,其中A的最大奇异值定义为1()A如果矩阵A是n×n的方阵,则它的第n个奇异值,也就是最小的奇异值，定义为()nA奇异值通常具有以下的性质(1)()max(2)()min(3)()()()xCxCiAxAxAxAxAAA这里的λi代表矩阵A的第i个特征值。11111(4),().()1(5),().()AAAAAA如果如果存在存在(6.2)(6.3)其中属性1在鲁棒控制系统的分析和设计中很重要。因为该属性反映了矩阵A的最大特征值与输入向量x在所有可能方向上的矩阵增益的最大值之间的关系。对于稳定的Laplace变换矩阵G(s)∈Cm×n,p=min(m,n)。定义G(jω)的与频率相关的H2和H∞范数如下：H2范数2*1(6)()()(7)()()()(8)()niiAAABABTraceAA1222[((()))]iGGjd(6.4)H∞范数sup(())GGj(6.5)6.2.2鲁棒多变量反馈控制系统的设计问题可以简单地描述为：为系统设计的控制规律使得系统在环境或系统本身的不确定性影响下仍然具有指定容许误差范围内的系统响应和系统误差。这里的不确定性包括很多方面,但其中最重要的是指系统的外界干扰（噪声）信号和系统传递函数的建模误差。鲁棒控制系统设计将采用H∞范数作为这类不确定性因素的度量。鲁棒控制系统设计问题的一般描述如下：假定一个多变量系统P(s),寻找某个稳定的控制器F(s),使得闭环系统的传递函数满足下面的关系：iiyuT111(())()inf{()|det())0}(,,)iiiiiiMyuMyuyunKTjKTITdiag(6.6)这个过程可以用图6.2来说明。式（6.6）称为鲁棒条件。KM称为最小不确定性Δ的大小,由每个频率对应的奇异值来度量。函数KM又称为对角扰动的多变量稳定裕度（MSM）,它的倒数用μ表示,即1MK(6.7)图6.2标准鲁棒控制问题的方框图如果Δn不存在,该问题又被称为鲁棒镇定问题（Robuststabilityproblem）。上述问题的求解涉及到Δ的非凸优化问题,它不能通过标准的非线性梯度下降方法计算得到,因为此时的算法收敛性无法保证。然而由于μ存在上界,可以通过下式计算KM：111()inf()iiiiiiiiyuyupyupMyuTDTDDTDKT其中,Dp∈D为Perron最优增益矩阵。D=｛diag|(d1I,…,dnI)|dj＞0｝,显然‖‖∞也是1/KM的上界。如果这些上界都满足鲁棒条件约束,那么可以充分保证μ和KM也满足鲁棒条件约束。iiyuT6.2.3实际上每一个Δi(i=1,…,n)自身都是矩阵并且代表不同种类的物理不确定性因素。在鲁棒控制中,这些不确定因素分为结构不确定性和非结构不确定性。非结构不确定性代表与系统频率无关的项。例如,驱动器的饱和特性、高频段的非建模误差或者低频段的系统扰动等等。它们与正常系统模型的关系可以表示为()AMGGGIG(6.8)(6.9)或者写成相乘的形式图6.3非结构不确定性的加法与乘法表示结构不确定性代表系统模型中的参数变化,例如系统传递函数中零极点位置的变化，系统状态矩阵中系统矩阵的变化，以及指定回路增益的变化等等。MATLAB的鲁棒控制系统工具箱允许用户对结构和非结构不确定性进行建模,并将它们考虑进控制器的设计过程中。提供的各种函数和工具可以完成系统的鲁棒分析和鲁棒控制器的设计。6.2.4鲁棒分析的目的是通过某种适当的非保守分析算法来“观察”MSM矩阵。换句话说,我们将找出系统保持稳定状态下不确定性的上界。其基本步骤包括：(1)定义不确定性模型。(2)将不确定输入（包括结构和非结构不确定性因素）写成图6.4所示的M-Δ形式。图6.4例6.1对非结构不确定性进行建模。下面的传递函数代表某架飞机的动态特性。221()(2)Gsss如果正常的模型为,则2()1/Gss212221121()()(2)1()()()2AMsGGMsFIFGsssGGGMsGFIGFs图6.5加法和乘法表示的不确定性的Bode图例6.2结构不确定性的建模。下面将讨论如何从状态空间的A和B矩阵中提取系统的结构不确定。假定飞机的状态空间模型表示为：其中,(p,r,β,δa,δr)的初始导数定义为22()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxIIILLNIIIIIIINNLIIII系统状态矩阵包括111.99530.75130.02990.09060.02981.00930.15180.00600.00240.020439.8500331.900.16730.02040.2284000.17110056.89276.7840000ABCD图6.6对参数不确定性的表示由模块框图得到的状态方程为112211112221xAxBuByyCxDuyCxDu从而得到干扰情况下的状态方程为221221()()xABCxBBDu22210101010100101010101000000000011000000000011000000000011000000000011000000000011BCD整个系统模型可以写成121122()00ABBPsCDCD使用线性分数转换函数lftf,可以获得系统u1到y1的闭环控制反馈回路F(s)。从系统u2到y2的传递函数是M(s)。6.2.5基于SandbergZames的小增益定理可以推出下面的标准奇异值稳定鲁棒性定理：对于一个M-Δ表示的系统,如果对于任意的稳定Δ(s)满足1(())[()]jMj(6.10)其中,ω为满足ω∈R,或者的任意数,则可以断定该M-Δ系统是稳定的。1[()]Mj下面来介绍多变量稳定裕度（MultivariableStabilityMargin，简称MSM）的概念：1()inf{()|det()00}()MKMIMM其中,Δ=diag(Δ1,…,Δn)。KM与μ具有以下的性质：(1)KM是使得系统不稳定的最小(2)如果不存在Δ满足det(I-MΔ)=0,则KM=∞。(3)KM是M和结构Δ的函数。(4)对于任意