第2讲 建立函数关系式

主讲教师：张丽清第2讲建立函数关系式主要提纲数学建模及其步骤建立函数关系式常见的三类模型常见的经济函数模型（选讲）数学建模初等模型雨中行走问题椅子能在不平的地面上放稳？建模步骤1.模型准备2.模型假设3.模型构成4.模型求解5.模型分析6.模型检验7.模型应用建立函数关系式要把题意分析清楚，有时还可画出草图帮助理解和分析题意；应根据题意确定哪些是变量，包括哪个是自变量，哪个是因变量。如果变量多于2个，还需找出除因变量之外的其他几个变量之间的关系式，以建立因变量与自变量之间的函数关系式。例1某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:0抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，并接她回家，此时发现比往常提前了10分钟到家。问他步行了多长时间？解：假定每次走同一条路，人、车均匀速，且每次过程中不耽误时间。女车站家6:005:30TT-10?5分钟5:55男TT+?搭车搭车6:005:30步行=T+20选择女考虑问题，主要原因是整个过程女的速度统一，只用车。时间有差，肯定差在路程长短上。𝑉步𝑉车，但两次路程相等，再假设步行时间为𝑥。𝑉车T=𝑉步𝑥+𝑉车𝑇+20−𝑥x=20𝑉车𝑉车−𝑉步例2曲柄连杆机构是各类机械中常用的基本部件之一，当半径为𝑟的主动轮作匀速转动时，长度为𝑙的连杆就带动滑块B作往复直线运动。如图1所示，设主动轮的转角为θ时，滑块B至主动轮的中心O的距离（也称为位移）为𝑥，在曲柄连杆工作的过程中，试建立位移𝑥和转角θ的函数关系。AC=rsinθ,OC=rcosθ,CB=𝑙2−𝐴𝐶2=𝑙2−𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑥=𝑂𝐶+𝐶𝐵=rcosθ+𝑙2−𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃2例3在电子技术中，有一种三角波的波形如图所示，图中横坐标表示时间t（单位：μs），纵坐标表示电压𝑢（单位：V）。试根据图中给出的数据，建立电压𝑢与时间t的函数关系式。解：当0≤t≤10时，u=32𝑡当10≤t≤20时，A（10,15），B（20,0）u=30−32𝑡u=32𝑡，0≤t≤1030−32𝑡，10≤t≤20例4高尔夫袋的生产过程：①切割并印染原材料；②缝合；③成型（插入支撑架、球棒分离装置等）；④检查和包装。表1-3生产每个高尔夫袋所需要的时间部门生产耗时标准袋高档袋切割印染7/101缝合1/25/6成型12/3检查包装1/101/43个月内每个部门的最大生产时间分别是：切割印染630小时，缝合600小时，成型708小时，检查包装135小时。生产一个标准袋的利润是10美元，生产一个高级袋的利润是9美元。请问高级袋和标准袋各应生产多少才可以使公司获得最大的利润？解：线性规划问题设高级袋生产x1个，标准袋为x2个。（x1，x2都为正整数）约束条件是𝑥1≥0,𝑥2≥0710𝑥1+𝑥2≤63012𝑥1+56𝑥2≤600𝑥1+23𝑥2≤708110𝑥1+14𝑥2≤135目标函数：f(𝑥1,𝑥2)=10𝑥1+9𝑥2,求最大值。LinearProgramming函数LinearProgrammingLinearProgrammingRealsIntegersMathematica专门提供了LinearProgramming函数来解决线性规划问题。线性,一次的,线的程序设计,规划,编程线性规划实数整数如例约束条件是𝑦+2𝑧≥22𝑦−3𝑧≥−6𝑧,𝑦≥0,求min(2y+z)。（特点：1.大于等于号；2.求最小值）命令如下LinearProgramming[c,a,b]LinearProgramming函数返回一个满足约束条件的向量x={y，z}，使得c.x达到最小值。c表示目标函数的系数向量，如c={2,1}。a表示约束条件的系数矩阵，如a={{1,2},{2,-3}}.b表示约束条件的常数向量，如b={2，-6}例约束条件是𝑥+2𝑦≤202𝑥−3𝑦≤6𝑥,𝑦≥0,求max(2x+y),等价于−𝑥−2𝑦≥−20−2𝑥+3𝑦≥−6𝑥,𝑦≥0,求min(−2𝑥−𝑦),课堂小结数学建模步骤（基本7步）建立数学关系式（步骤2步）先列出题目中已知条件，整理思路；后根据已知条件，设定未知量，选择关键条件，列出函数关系式摸爬滚打：如何用Excel表格解线性规划？预习第2章极限与连续常见经济函数模型Q为商品需求量，p为价格，商品供给量S需求函数Q=Q（p）价格函数p=p（Q）供给函数S=S（p）当Q=S时，商品价格为均衡价格𝑝，需求量为均衡数量𝑄当p𝑝时，供过于求当p𝑝时，供不应求常见经济函数模型生产函数Q=Q（K，L）总成本函数C=C（q）=𝐶1+𝐶2𝑞收入函数R=R（q）=p*q利润函数L=L（q）=R-C课堂练习课本第30页应用题6,7课本第32页应用题3作业（第2次）课本第31页自我测试二的应用题共4题讲解自我测试题