第4章 单相正弦交流电路

第4章单相正弦交流电路4.2正弦量的相量表示法4.1正弦交流电的概念4.3单一元件的正弦交流电路4.8复杂交流电路的计算4.6电路中的谐振4.7功率因数的提高4.5RLC并联交流电路4.4RLC串联交流电路1、理解正弦量的特征及其各种表示方法2、理解电路基本定律的相量形式及阻抗熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图3、掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念4、了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征5、了解提高功率因数的意义和方法本章要求4.1正弦交流电的概念1、正弦量随时间按正弦规律做周期变化的量iRu+___itu+_正弦交流电的优越性：便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；.....正半周负半周iRu+_设正弦交流电流角频率决定正弦量变化快慢幅值决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素初相角决定正弦量起始位置Im2TitO()+=tωIisinm2、正弦量的基本要素4.1.1周期与频率周期T变化一周所需的时间（s）角频率πfTπω22==（rad/s）Tf1=频率f（Hz）T（4）无线通信频率：30kHz~30GMHz（1）电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz（2）高频炉频率：200~300kHz（3）中频炉频率：500~8000HzitO4.1.2幅值与有效值有效值与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值幅值瞬时值中最大值，如Im、Um、Em则有=TtiTI02d1交流直流dtRiT20RTI2==TttωIT1022mdsin2mI=同理：2mUU=2mEE=交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值注意：4.1.3初相位与相位差1、相位2、初相位表示正弦量在t=0时的相角反映正弦量变化的进程itω)sin(m+=tωIiO0)(=+=tωtωt+)sin(1m+=tωUu)()(21++=tt21=若021=电压超前电流两同频率的正弦量之间的初相位之差3、相位差)sin(2m+=ωtIiuiuiOωt电流超前电压==902190电压与电流同相021==电流超前电压021=电压与电流反相==18021uiωtuiOωtuiuiOuiωtuiOuiωtui90°O（2）不同频率的正弦量比较无意义（1）两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关ti2i1iO注意：4.2正弦量的相量表示法（2）瞬时值表达式)sin(m+=tUu前两种不便于运算，重点介绍相量表示法（1）波形图1、正弦量的表示方法（3）相量ψUU=utωO+j+1AbarO2.正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:（1）代数式A=a+jbabarctan=22bar+=复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:cosra=sinrb=（2）三角式)sinj(cossinjcos+=+=rrrA由欧拉公式,2eecosjj+=2jeesinjj=（3）指数式jerA=sinjcosej+=可得:)(sinm+=tωUu设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量（4）极坐标式rA=相量表示:相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角UUeU==jrrrjrbaA==+=+=jesincosj相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角mjmmUeUU==动画（1）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量)(sinm+=tωIi？=（2）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示（3）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上mjmIeI==注意：（通常可不画坐标轴）1j111e)jsin(cosUUUU==+=2j222e)jsin(cosIIII==+=1UI2例如：（5）相量的书写方式模用最大值表示，则用符号：mmIU、实际应用中，模多采用有效值，符号：IU、如：已知)V45(sin220+=tωuVe220j45m=UVe2220j45=U则或（4）相量的两种表示形式相量图:把相量表示在复平面的图形)jsincos(ej+===UUUU相量式:90je旋转因子：j90sinj90cosej90==（6）“j”的数学意义和物理意义jerA=设相量90o2）相量乘以，将顺时针旋转，得到CA-j90eA90o相量乘以，将逆时针旋转，得到BA90o1）A90jeo+1+jACB试判断正误V452220=U？1、已知)V45(sin220+=tωuVe22045m=U？有效值)A30(sin24+=tω？Ae4j30=I3、已知复数瞬时值j45•)A60(sin10+=tωi？最大值V100=U？Ve100j15=U？2、已知A6010=I4.已知V15100=U负号1U202U452U1U落后于解:（1）相量式（2）相量图例1:将u1、u2用相量表示V)45(sin21102+=tωuV)20(sin22201+=tωu+1+jV202201+=UV451102+=U1U2U超前落后？思考：例2:已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7(++=有效值I=16.8A)A30(314sin2.7121+=ti)A60(314sin2112=ti。iii21+=A)10.9314(sin216.8=ti试求：A3012.71=IA60112=IA6011A3012.721+=+=IIIA10.916.8j3.18)A-16.5(==解：1、电压与电流的关系设tωUusinm=②大小关系RUI=③相位关系u、i相位相同根据欧姆定律:iRu=tωRU2RtωURuisinsinm===tωI2tωIsinsinm==①频率相同IU相量图4.3.1电阻元件的交流电路Riu+_相量式0II=RIUU==04.3单一元件的交流电路动画2、功率关系iup=（1）瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写tωIU2mmsin=)2cos(121mmtωIU=结论:（耗能元件）,且随时间变化。0ptωUutωIisin2sin2==piωtuOωtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值==TTtiuTtpTP00d1d1UIttωUITT==0)dcos2(11大写ttωIUTTd)2cos(12110mm=（2）平均功率（有功功率）PIUP=单位:瓦（W）2RI=PRU2=Riu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率)90(sin2+=tωLIω基本关系式①频率相同②U=IL③电压超前电流90==90iu相位差1、电压与电流的关系tiLeuLdd==4.3.2电感元件的交流电路设tωIisin2=iu+-eL+-LttωILud)sind(m=)90(sin2+=tωU90uωtuiiO动画)90(sin2+=tωLωIutωIisin2=或LUI=LXIU=则感抗(Ω)因此，电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义LfLXL2==fLπXL2=LωIU=有效值交流：fXLLfπLωXL2==感抗XL是频率的函数LX可得相量式)(jjLXILωIU==fLUI2=电感电路复数形式的欧姆定律UI相量图90IU超前)90(sin2+=tωLωIutωIisin2=根据=0II==9090LIωUULIUIUj90==则LXI,fO2、功率关系（1）瞬时功率0d)(2sind1oo===ttωUIT1tpTPTT（2）平均功率)90(sinsinmm+==tωtωIUuiptωUI2sin=tωIUtωtωIU2sin2cossinmmmm==)90(sin2+=tωLωIutωIisin2=L是非耗能元件储能p0+p0分析：瞬时功率：uip=tωUI2sin=ui+-ui+-ui+-ui+-+p0p0放能储能放能可见，电感L是储能元件uoptωo可逆的能量转换过程结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)tωi用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即LLXUXIIUQ22===单位：var（3）无功功率Quip=瞬时功率：tωUI2sin=例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时31.4Ω0.1503.1422===fLXL318mA31.410===LXUI（2）当f=5000Hz时3140Ω0.150003.1422===fLXL3.18mA314010===LXUI所以，电感元件具有通低频阻高频的特性电流与电压的变化率成正比tuCidd=基本关系式1.电流与电压的关系①频率相同②I=UC③电流超前电压90==90iu相位差则)90sin(2+=tωCωUtωωUCtuCicos2dd==4.3.3电容元件的交流电路uiC+_设tωUusin2=itωui90u动画)90(sin2+=tωCUωitωUusin2=CωUI=或ICωU1=CXIU=则容抗（Ω）定义CfπCωXC211==有效值所以电容C具有隔直通交的作用CfπXC21=XC直流XC，电容C视为开路交流ffCπXC21=容抗XC是频率的函数可得相量式CXICωIUj1j==则电容电路中复数形式的欧姆定律UI相量图90UI超前CωXC1=CX,If)(2CfπUI=O)90(sin2+=tωCUωitωUusin2=CUωIIj90===0UU2.功率关系（1）瞬时功率uiC+_（2）平均功率Ｐ)90(sin2+=tωCUωitωUusin2=0d)(2sind10===ttωUIT1tpTPT0T)90(sinsinmm+==tωtωIUuiptωUI2sin=tωIU2sin2mm=C是非耗能元件瞬时功率uip=tωUI2sin=ui+-iu+-ui+-ui+-+p0充电p0放电+p0充电p0放电ptωo所以电容C是储能元件结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）uiotωu,i同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值（3）无功功率QCCXUXIUIQ22===tωUIpsin2=单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设tωIisin2=)90(sin2=tωUu则：练习题指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？电阻电路RUi=RUI=Rui=RUI=电感电路LXui=Lωui=LωUI=LωIUj=LXIU=LXIUj=tiLudd=电容电路CωIU=CXiu=CωUIj=CωIUj1=单一参数电路中的基本关系小结参数LωXLjj=tiLudd=LCωXC1jj=tuCidd=CR基本关系iRu=阻抗R相量式RIU=IXULj=IXUCj=相量图UIUIUI21IRIRU+=交流电路、与参数R、L、C、间的关系如何？UI1、电流、电压的关系U=IR+IL+I1/C?直流电路两电阻串联时4.4RLC串联交流电路设tωsinIi2=RLC串联交流电路中RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i注意：4.4.1RLC串联交流电路动画tωIisin2=设)90(sin)1(2)90(sin)(2sin2+++=tω