虚功原理(微分形式的变分原理)

§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）一、虚功原理受有理想约束[、定常约束]的力学系统,保持[静]平衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零.0δ1iniirF在直角坐标系中,上式写成0)δδδ(1iiziiyiniixzFyFxF§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时,0RiiFFni,...,2,10δ)(iRiirFFni,...2,10δδ11iniRiiniirFrF必要条件的证明：对理想约束000δ1iniirF§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：0δ1iniirF对于受有理想约束的系统0δδ11iniRiiniirFrF力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式0dd11iniRiiniirFrF根据质点系的动能定理0ddd11iniRiiniirFrFT常量T说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）几点说明：(1)普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件.例如单摆gmrgmr,0时0rgm,0时0rgm置的位置为单摆的平衡位0(3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力和约束力上.§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）如图所示提升重物的装置,以把手端点的弧坐标s为广义坐标,设重物距地面高度为h,根据虚功原理0δδhWsFshWFδδ如果知道h和s的函数关系,通过上式,就可求出F(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由虚功原理求出约束力,但是,通过释放约束或用不定乘子法,可以求出约束力§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）二、广义平衡方程0δ1iniirF0)δδδ(,1iiziiyiniixzFyFxF或据虚功原理,有为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式.0δ1qQs展开后写成0δδδ2211ssqQqQqQ0δ1q若相互独立qδ0δ,...,δ2sqq011qQ01Q在完整系中,§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）0δ,1q若同理相互独立qδ0δ,...,δ,δ31sqqq022qQ02Q推出,0Qs,,2,1广义平衡方程虚功原理又可叙述为:对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统,保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系,有qVQ所以,广义平衡方程成为0qVs,,2,10δ1qqVs代入虚功原理中,有0δ,V即§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）三、虚功原理的应用例题3如图所示,匀质杆OA,质量为m1,长为l1,能在竖直平面内绕固定的光滑铰链O转动,此杆的A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆AB相连.在B端有一水平作用力.求处于静平衡时,两杆与铅垂线的夹角1和2.FAl1Bl2FOxy121、判断约束类型是否完整约束?是否理想约束?2、判断自由度224s2211,qq个变量两点的位置，、4BA21,lABlOA§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）PR质量为m的小环P被限制在一个半径为R的光滑大圆环上,大圆环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度.质点在球坐标系中用r,,描述Rr0t非定常约束1s3、分析受力(主动力)ABFOxy12gm1111,yxCgm2222,yxCFgmgm,,21§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）4、由虚功原理0δδδ32211rFrgmrgm5、建立坐标系(必须是静止坐标系)xx0δδδ32211xFygmygm6、转化成广义坐标111cos2ly22112cos2coslly22113sinsinllx1111δsin2δly2221112δsin2δsinδlly2221113δcosδcosδllxy§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）1112111δsinsin21coslgmgmF0δsin21cos22222lgmF广义力广义力互相独立和由于21δδ0sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF广义平衡方程§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:gmFgmmF221212tan22tan所以gmFgmmF221212arctan22arctan§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）[法二]先求出广义力,再写出平衡方程s=2,所以有2个广义力1iiiqrFQ32,1FFgmFgmF32211,,,其中2211,qq1111rgmQgm212r13rF111ygm122ygm13xF11112111cossinsin21Flglmglm02211322112111sinsincos2coscos2llxllyly§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）2211322112111sinsincos2coscos2llxllyly232222112rFrgmrgmQ23222211xFygmygm22222cossin21Flglm0虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置；(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成0δ1SqQ的形式,进而得出广义平衡方程,0Q.,,2,1s对有势系,求出系统的势能V后，可通过0/qVs,,2,1得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程.§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）四、利用虚功原理求约束力1、利用释放约束的方法求约束力例题4试求例题3中O处的约束力.4s241321,,,qqyqxqNFFgmgm,,,21主动力为代入虚功原理,得0δδδδδ32211xFygmygmyFxFyxNNgmmFFFNyNx21可解出约束力:§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法)先设系统由1个质点组成,受1个完整约束0,,zyxf用3个直角坐标作为描述系统位置的变量.于是当系统平衡时,应满足虚功原理0δδδzFyFxFzyx得出的它们满足由约束方程不是相互独立的但式中,δ,δ,δzyx0δδδzzfyyfxxf乘待定常数(不定乘子)，与前式相加,得0δ)(δ)(δ)(zzfFyyfFxxfFzyx§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）.δ,δ,δ依然不独立zyx0δ)(δ)(δ)(zzfFyyfFxxfFzyx.δ,δ,δ独立则不独立假定zyx即的系数为值使适当选取,0δx0zfFz0),,(000,zyxfzfFyfFxfFzyx则,),,(,0),,(,定常数和待可求出平衡位置联立求解与约束方程已知主动力zyxzyxfF称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.不定乘子是一个与约束力有关的量.§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）将约束都释放,并将约束力视为主动力,虚功原理成为0)δ()δ()δ(zFFyFFxFFRzzRyyRxx.δ,δ,δ相互独立zyx即000RzzRyyRxxFFFFFF可知xfFRxyfFRyzfFRz设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约束力为kFjFiFFRzRyRxRkzfjyfixf即fFR说明约束力沿曲面的法线方向，.的比例系数与是约束力fFR§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）一般性讨论设一力学系统由n个质点组成,受到k个完整约束的限制0,,iiizyxfk,,2,1则3n个坐标中有k个是不独立的.系统平衡时,应满足虚功原理0δδδ1niiiziiyiixzFyFxF,δ,δ,δ3不是相互独立的个式中的iiizyxn它们满足k个由完整约束给出的方程:0δδδ1niiiiiiizzfyyfxxfk,,2,1§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）inikiixxxfFδ11ikiiyyyfFδ10δ1ikiizzzfF000.,,2,1ni与k个约束方程联立求解,k个与平衡位置坐标便可同时求出.称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.将k个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力,虚功原理成为0δδδ1iRiziziRiyiyiniRixixzFFyFFxFF§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）3n个坐标变分变成完全独立的了,所以000RizizRiyiyRixixFFFFFFni,,2,1kiRizkiRiykiRixzfFyfFxfF111ni,,2,1000111kiizkiiykiixzfFyfFxfF与比较不定乘子与约束力有密切关系.§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）例题5一质量为m的质点P被限制在光滑球面上运动.已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力.[解]系统:质点建立原点在球心上的直角坐标系Oxyz,质点的约束方程为0),,(2222azyxzyxfs=2,但解题时仍以质点的3个坐标x,y,z作为确定质点位置的变量.它们的变分不独立,满足以下关系:0δ2δ2δ2zzyyxx质点所受的主动力是重力gm根据虚功原理,0δrgm即0δzmg§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）0δ2δ2δ2zzyyxx0δ2δ2δ2yyxxzzmg0δzmg不定乘子的待定性可使x,y,z相互独立(系数均为0),于是,020202yxzmg0可得到质点平衡位置的两组坐标:),0,0(a),0,0(a