数学建模获奖范文

1B题:水资源短缺风险综合评价一摘要本文主要基于回归分析模型，通过北京1979-2008年的水资源数据，对北京市水资源短缺风险的概率和缺水影响程度给予了综合评价。首先通过构造隶属函数评价了水资源系统的模糊性，其中缺水发生的概率,是由Logistic回归模型计算得到,水资源短缺风险值是由基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型计算出来的。而后，利用神经网络算法对北京市水资源短缺风险状况做出了评价和预测，并通过Metlab软件对数值进行了预测。用聚类分析对风险等级进行了划分，使人们较为直观的了解水资源风险情况，并预测了未来两年北京市水资源的状况。这些方法预测的准确性更高。而且用spss软件拟合了农业、工业、第三产业及生活等其它用水与缺水量的关系，两者通过对比，证明了假设的正确性，第三产业及生活等其它用水成为主要的用水途径。通过对所得数据的处理，得出了农业用水、水利工程设施、工业污染、管理制度、人口规模等是北京市水资源短缺的主要风险因子。并针对这些问题，提出了相应的解决措施及建议。利用先进的计算机绘图和计算方法，通过对数据的分析，对北京市水资源利用提出比较科学的建议。关键词：模糊概率；回归分析模型；类中心；水资源短缺风险；2二问题的分析该问题是个数学模拟问题，要求评价判定北京市水资源短缺的风险因子，并对水资源短缺进行综合评价，给出合理的预测及应对措施。在第一题中，可以对所给数据进行统计分析，找出各量之间的关系，筛选出对水资源影响较大的因子；在第二题中，首先，根据模拟评价的原则，我们假定近几年北京的气候不发生剧烈变化；其次，假设建立的Logistic回归模型对数据拟合良好；利用模糊概率和Logistic回归模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，并采用类中心分析法作出风险等级划分，再对主要风险因子如何调控提出合理的措施；在第三题中，我们首先假定利用spss回归模型模拟拟合的曲线与实际情况尽可能一致；在这题中，我们采用神经网络和回归曲线两种模型，对未来两年水资源的短缺风险进行了合理预测；在第四题中，我们根据前面的分析、研究、预测，向北京市水行政主管部门，写一份建议报告。3三模型假设综合以上分析，我们做出如下假设：1、假设近几年北京的气候不发生剧烈变化；2、假设建立的Logistic回归模型对数据拟合良好；3、假设利用spss回归模型模拟拟合的曲线与实际情况尽可能一致；四模型的建立与求解问题一影响北京市水资源短缺的因素很多，自然因素：空间分布不均，时间分布不均；气候因素：气候干旱，水资源总量少；人为因素：人口剧增，工农业生产规模扩大，水资源浪费、污染严重，水利工程设施不健全等。通过对所给资料的统计分析，作出了如下图表，由此可知，农业和工业用水占总用水量的百分比均呈下降趋势，第三产业及生活等其它用水占总用水量的百分比均呈上升趋势。由此可以推断北京市水资源短缺风险的主要风险因子是气候条件，水利工程设施，人口规模和管理制度。分析其原因，气候条件，水利工程设施影响可用水资源总量，人口规模和管理制度影响用水量的多少以及水资源的利用效率。表1水资源状况统计表：（可以显示出各种水量的稳定性）类别总用水量(亿立方米)农业用水(亿立方米)工业用水(亿立方米)第三产业及生活等其它用水(亿立方米)水资源总量（亿方）缺水量(亿立方米)标准差5.1807826.0229233.145794.0173119.28949610.22565方差27.7660437.5264810.2372416.6952989.27041108.16954农业用水占总用水量的百分比（%）010203040506070197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005200620072008时间（年）百分比图1农业用水占总用水量的百分比呈下降趋势第三产业及生活等其它用水占总用水量的百分比（%）0102030405060197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005200620072008时间（年）百分比图2第三产业及生活等其它用水占总用水量的百分比均呈上升趋势5水资源总量占用水量的百分比（%）020406080100120140197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005200620072008时间（年）百分比图3水资源总量占用水量百分比随年份变化曲线1979年至2008年北京市水资源状况-20-100102030405060197919811983198519871989199119931995199719992001200320052007时间（年）水量（亿立方米）总用水量(亿立方米)农业用水(亿立方米)工业用水(亿立方米)第三产业及生活等其它用水(亿立方米)水资源总量（亿方）缺水量(亿立方米)图4水资源状况曲线图6问题二模糊概率风险评价模型1）风险评判记供水量为Ws,需水量Wn,缺水量x，μw(x)为缺水量在模糊集Wc上的隶属函数，Wa为缺水系列中最小缺水量，Wm为缺水系列中最大缺水量，Rn为n维欧氏空间;μAf为模糊事件Af的隶属函数;P为概率测定；给定一个供水系统,当供水量Ws小于需水量Wn时,供水系统处于失事状态。由于水资源系统具有模糊不确定的特点,在此我们可以构造一个恰当的隶属函数用来描述供水失事带来的损失。定义模糊集Wc如下:Wc={x:0≤μm(x)≤1}(1)作出如下构造:(2)其中：p为大于1的正整数。记水资源短缺风险为模糊事件Af发生的概率,可得模糊概率(3)假定dP=f(y)dy,可得：(4)式中f(y)为随机变量y的概率密度函数，水资源短缺风险的定义可表示为(5)由(2)—(5)式，把水资源短缺风险存在的模糊性和随机性相结合来定义风险,水资源短缺风险发生的概率是随机的、不确定的,而模糊不确定性则影响水资源短缺风险的程度。根据概率密度函数f(x)与隶属函数计算可得出水资源短缺的风险R。对于对等间隔测度的变量因数,可以使用切比雪夫(Chebychev)公式处理,而对于计数变量因数一7般使用‘χ2测度‘来表达变量之间的不相似性关系,其表达式如下所示:||)(max1jkikpkijyxd(6)2）判别分析判别分析能够识别出影响水资源短缺风险的敏感因子,可以从观测对象特征的自变量中得到较多的信息变量,且这些变量之间的相关程度较低。一般的线性判别函数式如下:y=a1x1+a2x2+…+anxn(7)式中，y为判别分数,x1,x2,…,xn为表征研究对象特征的变量,a1,a2,…,an为各个变量的系数。我们采用距离判别法,即每步都使得相距最近的两类间的距离最大的变量进入判别函数,其计算表达式如下所示:(8)式中，x为某一类中的观测量,Y为另一类的观测量,此式可以求出x与Y的Mahalanobis距离。3）水资源短缺风险评价过程(1)水资源短缺风险计算分析。根据式(2)、式(5)以及式(8)建立水资源短缺风险评价模型,得到北京市1979—2008年水资源短缺风险的计算结果如图5所示。其中缺水发生的概率,是由Logistic回归模型计算得到,水资源短缺风险值是由基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型计算出来的。图5北京市1979—2008年的水资源短缺风险8由图5可以看出,1987、1991和1996这三年水资源短缺风险模拟值均为0,没有风险。其中1987、1996年风险发生的概率和实际情形是吻合的,再以1991年为例,该年风险发生的计算概率为58%,这一年的实际情况是水资源总量仅为42.29亿立方米,但实际总用水量已达到42.03亿立方米,已处于风险的边缘状态。虽然其他一些年水资源缺水计算概率较高,但由于其缺水影响程度较小,所以由模糊概率计算其相应的水资源短缺风险综合评价值也较小。由图3的进一步分析可知,只要真实风险存在,风险发生的概率都超过了70%,比如1999年是枯水年,水资源短缺风险模拟计算值最大,风险发生的概率接近100%。以上分析说明模型的计算结果与实际情形是吻合的,可以应用。水资源短缺风险分类利用QuickCluster对1979—2008年北京市的水资源短缺风险进行聚类,各类风险最终的类中心和特征如表2所示。水资源短缺风险类别类中心风险特性低风险0．02可以忽略的风险较低风险0．42可以接受的风险中风险0．50边缘风险较高风险0．75比较严重的风险高风险0．86无法承受的风险表2水资源短缺风险类别与特性划分风险等级的理由是：用聚类分析法分析的水资源短缺风险分类，直观的说明水资源短缺风险程度,利用QuickCluster过程(快速样本聚类)对风险进行聚类。快速样本聚类需要确定类数,利用k均值分类方法对观测量进行聚类,根据设定的收敛判据和迭代次数结束聚类过程,计算观测量与各类中心的距离,根据距离最小的原则把各观测量分派到各类中心所在的类中去。事先选定初始类中心,根据组成每一类的观测量,计算其均值,每一类中的均值组成第二代迭代的类中心,依次迭代,直到达到迭代次数或达到中止迭代的数据要求时,迭代停止,聚类过程结束，根据类中心划分风险等级。调控措施：政府部门应加大植树造林的宣传力度，使森林涵养作用加强，从一定程度上改善北京市的气候条件。水利设施发展滞后，严重阻碍了北京水资源的利用效率。积极引进高科技水利设施，提高北京储水能力的同时使水资源利用率增高。严格实行计划生育政策，控制人口过快增长。水资源管理的法律体系不健全，执法力度不够。应该完善相关法律法规，加强政府宏观调控的能力。以上措施可在一定程度上降低北京市水资源短缺风险。9问题三模型一人工神经网络也简称为神经网络或称作连接模型，它是一种模范动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。人工神经网络具有自学习和自适应的能力，可以通过预先提供的一批相互对应的输入－输出数据，分析掌握两者之间潜在的规律，最终根据这些规律，用新的输入数据来推算输出结果。人工神经网络通常是通过一个基于数学统计学类型的学习方法(LearningMethod)得以优化,所以人工神经网络也是数学统计学方法的一种实际应用,通过统计学的标准数学方法我们能够得到大量的可以用函数来表达的局部结构空间,另一方面在人工智能学的人工感知领域,我们通过数学统计学的应用可以来做人工感知方面的决定问题(也就是说通过统计学的方法,人工神经网络能够类似人一样具有简单的决定能力和简单的判断能力),这种方法比起正式的逻辑学推理演算更具有优势。我们采用了计算机控制方法，用Matlab进行编写神经网络程序（参见附录程序）对所给数据进行处理可以直接大致预测出北京未来两年的水资源短却状况，如表3所示，得到以下图像：年份总用水量(亿立方米)农业用水(亿立方米)工业用水(亿立方米)第三产业及生活等其它用水(亿立方米)水资源总量（亿方）缺水量(亿立方米)201239.329.938.7220.6723.4915.83201340.238.928.3722.9428.5711.66表3利用神经网络预测的北京未来两年的水资源短却状况10图6神经网络运行图图7神经网络运行状况图11图8神经网络运行结果图模型二记缺水量为y,农业用水量为x1，工业用水量为x2，第三产业及生活等其它用水量为x3，水资源总量为x4，y=x1+x2+x3-x4；根据上面的分析，我们利用x1、x2、x3和x4来建立y的回归分析模型。为了大致地分析y与x1、x2、x3和x4的关系，利用SPSS软件的曲线估