9-4直线与圆、圆与圆的位置关系2019高三一轮复习课件

基础诊断考点突破第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础诊断考点突破考试要求1.直线与圆、圆与圆的位置关系及判断，B级要求；2.利用直线和圆的方程解决一些简单的问题，B级要求；3.用代数方法处理几何问题的思想，A级要求．基础诊断考点突破知识梳理1．直线与圆有三种位置关系：、、．2．直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法．(1)代数法：联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数，判定它们的位置关系．将直线方程代入圆的方程，得到关于x或者y的一元二次方程．若Δ0，则它们相交；若Δ＝0，则它们相切；若Δ0，则直线与圆相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r大小来判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．相离相交相切d＝rdrdr基础诊断考点突破3．圆的切线(1)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为；若点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为.(2)当点P(x0，y0)在圆外时，切线有条．求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运用点到直线的距离求出斜率．如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形．x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2两基础诊断考点突破4．(直线与圆相交时)圆的弦(1)当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线被圆截得的弦长为2r2－d2.(2)若直线y＝kx＋b与曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x1－x2|或1＋1k2|y1－y2|.基础诊断考点突破5．圆与圆的位置关系(圆O1，圆O2的半径分别为r1，r2，d＝O1O2)外离外切相交内切内含图形几何观点dr1＋r2d＝r1＋r2|r2－r1|d|r1＋r2|d＝|r1－r2|d|r1－r2|量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0Δ＝0Δ0基础诊断考点突破6．圆系及圆系的方程(1)当直线l：ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交时，经过直线l与圆C交点的圆系的方程可以设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，λ为待定参数．(2)经过圆C1：f1(x，y)＝0与圆C2：f2(x，y)＝0交点的圆的方程为．f1(x，y)＋tf2(x，y)＝0(t≠－1)基础诊断考点突破(3)已知圆C1：f1(x，y)＝0与圆C2：f2(x，y)＝0有公共点(二次项系数相同)，那么方程表示经过它们交点的直线；如果两圆有两个交点，那么方程表示公共弦所在直线；如果两圆外切，那么方程表示公切线方程.f1(x，y)－f2(x，y)＝0f1(x，y)－f2(x，y)＝0f1(x，y)－f2(x，y)＝0基础诊断考点突破诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()基础诊断考点突破解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．(2)除外切外，还有可能内切．(3)两圆还可能内切或内含．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√基础诊断考点突破2．(2015·安徽卷改编)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是________．解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线3x＋4y＝b的距离为|7－b|5＝1，解得b＝2或b＝12.答案2或12基础诊断考点突破3．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案[－3,1]基础诊断考点突破4．(2017·苏北四市联考)直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是________．解析由题意得圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2－a，所以圆的圆心为(a,0)，半径为a2－a，圆心(a,0)到直线ax＋y＋1＝0的距离为a2＋1a2＋1，又因为圆(x－a)2＋y2＝a2－a被直线ax＋y＋1＝0截得的弦长为2，所以(a2－a)2＝12＋a2＋1a2＋12，解得a＝－2.答案－2基础诊断考点突破5．(必修2P117复习题14改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．解析由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＋4y－12＝0，得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为22.答案22基础诊断考点突破考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．(2)直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________．基础诊断考点突破解析(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；基础诊断考点突破当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋332＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜233.答案(1)充分不必要(2)1，233基础诊断考点突破规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．基础诊断考点突破【训练1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．(2)(2017·扬州中学测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，故直线与圆O相交.基础诊断考点突破(2)法一将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－3＜k＜3.法二圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即2k2＋1＞1，解得－3＜k＜3.答案(1)相交(2)－3＜k＜3基础诊断考点突破考点二圆的切线、弦长问题【例2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若AB＝23，则圆C的面积为________．(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．解析(1)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝a2＋2，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝|0－a＋2a|2＝|a|2.又由AB＝23，得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.基础诊断考点突破(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径长为5.由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3,4)到直线y＝kx的距离等于半径长5，即|3k－4|k2＋1＝5，解得k＝12或k＝112，则切线的方程为y＝12x或y＝112x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2)，45，225，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得PQ＝4.答案(1)4π(2)4基础诊断考点突破规律方法(1)弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长．②几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.(2)圆的切线方程的两种求法①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.基础诊断考点突破【训练2】(1)(2017·泰州模拟)已知直线y＝kx(k0)与圆C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，若AB＝255，则k＝________.(2)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．解析(1)圆心(2,0)到直线y＝kx(k0)的距离d＝|2k|k2＋1，则弦长AB＝255＝21－d2，得d2＝45＝4k2k2＋1，又k0，解得k＝12.基础诊断考点突破(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k－1＋4－2k|k2＋－12＝|3－k|k2＋1＝1，基础诊断考点突破解得k＝43，∴所求切线方程为43x－y＋4－2×43＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.答案(1)12(2)x＝2或4x－3y＋4＝0基础诊断考点突破考点三圆与圆的位置关系【例3】(2017·郑州调研)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，基础诊断考点突破所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m，(1)当两圆外切时，由5－12＋6－32＝11＋61－m，得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为2112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.基础诊断考点突破规律方法(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．基础诊断考点突破【训练3】(1)(2016·山东卷改编)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋