章建跃-聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计

聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计人民教育出版社章建跃[e-mail]一、我们面临的现实•课改迅猛推进•亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等。二、教学层面的问题•课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。•我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而得到改观，而是越来越严重了。例1“平方根”中的不当问题•是近似值，无法在数轴上表示准确。•带根号的数和分数统称实数。•数轴上任意两点之间都有无数个点。•若a＞|b|，则a2＞b2。•的整数部分和小数部分分别是m，n，求m－n。22三、教师层面的问题分析•对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解；•对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；•只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；•对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；•缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；•采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。四、努力的方向——专业化数学学科的专业素养•有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”；等。教育学科的专业素养：•一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。“两个素养”的结合•善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。五、数学课堂教学——教什么•构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。例2代数的核心概念、思想方法•有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：•各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；•方程——未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程——由代数方程式确定其中的“未知数”的值；•解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。•一元一次方程是基础，其它都设法向它转化。•许多问题是在引进字母表示数时才水到渠成地提出来的——从处理单个的数到处理一类问题。•从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化——从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。•一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映——不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义——变化规律由k，b决定。•其他函数也类似。六、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架1．教学设计的基本线索•概念及其解析（概念的核心）；•目标和目标解析；•教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）；•教学过程设计；•目标检测的设计。2．概念和概念解析•概念：内涵和外延的准确表达；•概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。例2“三线八角”概念的核心定义：•“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角。•对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；关键是：根据结构特征进行分类。例3一元二次方程•知识：概念（未知数、系数）；解法和公式——通法；判别式——解的情况（通性）；根与系数的关系——通性。•思想方法：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想——方法论层次。3．目标和目标解析•目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。•目标：用了解……及行为动词经历……表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。•目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的数学思想方法的解析。例4“三线八角”的教学目标目标：•识别同位角……（课标）。目标解析：•正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。•以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。例5一元二次方程的解法•目标：掌握一元二次方程的解法。•解析：（1）能用具体的方法，如开方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（2）能用等价转化（如x2=a、(x－x1)(x－x2)=0等）、化归（通过代数运算转化方程，化未知为已知）等探究一元二次方程的解。例6一元二次方程根的判别式•目标：掌握一元二次方程根的判别式。•解析：——对“掌握”的内涵作具体界定。（1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解判别式的结构和作用；（2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况；（3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程根的情况；（4）能应用判别式解决其他情境中的问题。例7根与系数的关系•目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。•解析：（1）提出问题的方法——根的个数、符号、根和根之间的关系、根和系数的关系（根由系数唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方程（解方程的反问题）、根—多项式的因子……；（2）通过运算所发现的规律——代数的基本方法；等等。教学目标的三层级模型第一层级•主成分：以记忆为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力。•测试：基本事实、方法的记忆水平。•标准：获得的知识量以及掌握的准确性。第二层级•主成分：以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力；•测试：能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题；•标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。第三层级•主成分：以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力；•测试：能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣；•标准：思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。4．教学问题诊断分析•教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行的预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。例8“三线八角”中的难点•学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。•教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。•∠B和∠BCE可以看成是直线，被直线所截得的角；∠B和∠BCD可以看成是直线，被直线所截得的角。BEACD例9一元二次方程中的难点•真正的难点还是在思想方法上：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想——如何提出研究的问题；分类讨论思想。•具体操作上：由平方根概念所附带产生的难点。4．教学支持条件分析•为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。5．教学过程设计•强调教学过程的内在逻辑线索；•给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；•以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；•根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。例10“三线八角”的教学过程•问题1（1）请回顾一下角的概念。（2）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是怎样研究它们的性质的？•设计意图：强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为新知识的学习提供借鉴。•先行组织者：两条直线相交形成四个角，它们的关系（性质）已经清楚（特例是垂直）。接下来可以研究一条直线与两条直线分别相交，可以得到哪些角，它们又有什么关系（性质）。•意图：提出问题的方法、研究思路的引导。•问题2：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。共得到几个角？你知道其中哪些角的关系？•设计意图：培养学生画图的习惯；分析出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。•问题3：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何把这些角分类？12•设计意图：引导学生学34习根据一定标准分类的研56究方法。78•问题4：如图，直线AB，CD被直线EF所截。∠1与没有公共定点的∠5，∠6，∠7，∠8的关系可以怎样描述？可分为几类？•设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并分类。EB•说明：本问题是本课A1的关键，可多给时间，56教师可在确定分类标准C78D上给予引导。F•问题5：图中，（1）与∠1、∠5具有相同位置关系的角还有哪几对？（2）还有哪几对角的位置关系是问题4中没有包括的？•设计意图：从图中识别同位角，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内角概念。•可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。•教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没有明确——要学生自己悟。•例题：•主要是通过图形变式，让学生在逐渐复杂的图形中识别有关角。要帮助学生总结操作要点：两个角由哪条直线截另两条直线形成的——关键是确定“所在公共直线”。•要注意使用反例。•课堂小结：从如下几个方面进行总结。（1）问题的提出——自然、水到渠成；（2）研究的思想方法——位置关系的分类，提醒分类标准——角与三条直线的相对位置；（3）归纳概括概念的内涵，注意使用“等值语言”，如“同位”即“同一个方位”等；（4）用概念进行判断的步骤、注意事项等。例11根的判别式、根与系数关系的复习•教师甲的教学设计•教师乙的教学设计•两种设计的比较6．目标检测设计•习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性。•注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；基础不够的题目更是贻害无穷——题目出不好是老师专业素养低的表现之一。例12分式概念的检测题比较？时候为什么时候有意义？什么？时候为什么时候有意义？什么什么时候有意义？什么时候有意义020)1(12)