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二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程张家界市一中高二数学组一、复习1、椭圆的参数方程椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程:12222aybxxacos,Xybsin.焦点在轴xbcos,Yyasin.焦点在轴2、在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,通常规定参数的取值范围是:02[,)φOAMxyNB椭圆的标准方程:3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.bsinyacosx方程为{的参数为参数)可以得到椭圆(sinycosx{1.利用圆的参数方程y+x1可以变成byax则椭圆的方程yb1yxa1x{通过伸缩变换222222参数方程的推导从几何变换角度看椭圆4、充:、三角函数的定义的补5________sinayr________cosaxr_________tanayx_________cotaxyrx__________cscary余切:正割:余割:22sectan1sec_________a1cos1sinO102图AMBA1C2CB12112221000...OababCCACOAACAAxACxBCBBOABAByxAMBMM如图,以原点为圆心,,,为半径分别作同心圆,设为圆上任一点,作直线,过点作圆的切线与轴交于点,过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点过点,分别作轴,轴的平行线,交于点2222100.yxabab类似于探究椭圆参数方程的方法,我们来探究双曲线,②的参数方程二、双曲线的参数方程.0.设为始边,为终边的角为,点的坐标为,那么点的坐标为,,点的坐标为,OxOAMxyAxBby1cossincossincossin.因为点在圆上,由圆的参数方程得点的坐标为,,所以,,,ACAabOAabAAxaa0OAAAOAAA因为,所以,从而O102图AMBA1C2CB双曲线的参数方程推导12coscossin0.axaa.cosax解得记1secsec.cosxa,则tantan.Bybyb因为点在角的终边上,由三角函数定义有,即sectanMxayb所以,点的轨迹的参数方程为为参数③O102图AMBA1C2CB22222sin11sectan1coscos因为,即,..Mx所以,从③消去参数后得到点的轨迹的普通方程为②,这是中心在原点,焦点在轴上的双曲线所以③就是双曲线②的参数方程302.22在双曲线的参数方程③中,通常规定参数的范围为,,且,?思考类比椭圆的参数方程,从双曲线的参数方程中可以得出哪些结论O102图AMBA1C2CB210().MOAMOM由图或通过动画演示可以看到,参数是点所对应的圆的半径的旋转角称为点的离心角,而不是的旋转角22221sectan.yxabab与椭圆类似,双曲线上任意一点的坐标可以设为,,这是解决与双曲线有关的问题的重要方法•baoxyMBA'B'A'OBBy在中,(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中,|||'|cosOAOAcosaasec,sec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后,得-=1,b这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程推导2双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为:b3[,2)22o通常规定且,。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到,所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明:⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.x23secy43tan例1、(1)求双曲线的两个焦点坐标。)0,152(x3sec2()ytan______________()双曲线为参数的渐近线方程为xy31.sectanbyxMaab解:双曲线的渐近线方程为不妨设为双曲线右支上一点,其坐标为,,xy112图OMBA2222221110.?MyxababOMABMAOB例如图,设为双曲线,上任意一点,为原点,过点作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于,两点探求平行四边形的面积,由此可以发现什么结论tansec.MAbybxaa则直线的方程为④sectan.2AbyxAaax将代入④,解得点的横坐标为sectan.2BBax同理可得点的横坐标为tan.bAOxa设,则MAOB所以,平行四边形的面积为xy112图OMBA||||sin2MAOBSOAOB平行四边形||||sin2MAOBSOAOB平行四边形sin2coscosABxx2222sectansin24cosa22tan.222aababa.MAOBM由此可见,平行四边形的面积恒为定值,与点在双曲线上的位置无关xy112图OMBA2.用双曲线的普通方程直接求解例,并由此体会参数方程的作用两点距离的最小值、,求上一点与双曲线上一点、已知圆例QPQyxPyxO11)2(:32222133,454,1tan3)1(tan24tan4tan1tan)2(tansec)tan,(secminmin222222PQOQOQQ时或即当的最小距离先求圆心到双曲线上点标为解:设双曲线上点的坐小结:1、双曲线参数方程的形式2、双曲线参数方程中参数的意义双曲线的参数方程(1)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程是x=asecφ,y=btanφ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.(2)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线y2a2-x2b2=1的参数方程是x=btanφ,y=asecφ.作业P34习题2.2第3题
本文标题:2、双曲线的参数方程
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