多元复合函数的微分法

8.4多元复合函数的微分法8.4.1链式法则证),()(tttu则);()(tttv定理如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：，获得改变量设ttdtdvvzdtduuzdtdz,21vuvvzuuzz当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0v,dtdutu,dtdvtv.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数uvtz上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如:dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz),(),(),(),,,(twwtvvtuuwvufz则.,sin,,dtdztveuuvvuzt求其中　设例4231.cos)sin12()sin3sin2(324tteeettetttttvvztuuztzdddddd解：tuvuevuvtcos)12()32(324上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：).,(),,(),,(yxvyxuvufz如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx的两个偏导数存在，且有,xvvzxuuzxz.yvvzyuuzyzuvxzy链式法则如图示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yvu,v,w都在点),(yx具有对x和y的偏导数，f的偏导数连续，则复合函数)],(),,(),,([yxwyxyxfz在点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算zwvuyx类似地再推广:),,(yxu),,(yxv).,(yxww设),,,(wvufzxwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyzuxy2xyvezzuzvzwxuxvxwx22xyuvwyfeyffzzuzvzwyuyvywy22xyuvwxfxyeffzuvxyw2(,,)xyzfxyexyf,zzxy例2．设，其中偏导数连续，求。解：设，则函数结构图为：wxy2．特殊复合函数的偏导数ztvutt),,(tvufz)(),(tvvtuu其中f具有连续的偏导数，(1),u、v可导，则：tzddtuuzddtzz对自变量t的导数把u、v看做不变，z对中间变量ｔ的偏导数例2设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttetztvutt),,(yxufz),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别xwwzxvvzxuuzxz=1=0xzxuuz自变量中间变量(2)(,,)zfuvxuxysinvxzfufvfxuxvxxcosuvxyfxffzfuyuyuxfzuvxxy及(,sin,)zfxyxxzxzy例3设，f的一阶偏导数连续，求。解：设函数关系图为)],([yxtfzxtfxzytfyzztxy复合关系图为:)(tfz),(yxtt,f具有连续一阶导函数,(3)一阶偏导数连续，复合函数为：例4设2tez，而t=sinx-y,求xz和yz.ztxy解xtextdtdzxztcos2222tteytdtdzyz例5设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.令,zyxu;xyzv记,),(uvufffu1xwxvvfxuuf;21fyzf),(),,(21xyzzyxfxyzzyxf注：偏导数的结构具有遗传性11223．偏导数的简单记号及复合函数的高阶偏导数解,),(vvufffv2,12f同理有,11f,21f.22fzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyfxzfyxxfz可导，求思考题：,)(12)12()(122yxyxxff),(),,(21xyzzyxfxyzzyxf1212.,,,yxzxzfxyyxfz226的二阶偏导数连续，求　例,,22,,22122fxyfxyxyvfxyufxvvfxuufxzxyvyxu得解：设2231211322122221222122111221211122fxyfyfyxfxfxxfxfxyfxxfxfxyfxyxz),(),,(2221xyyxfxyyxf注意1212.求),(),(),(),(设例7dxduxttx,thyx,ygzx,y,zfu解：复合关系：ufxyzhxtgxyhxtxtxt)()(zfyfxfdxdudxdtthxh)(dxdtthxhygxgzfyfxfdxdtthyfxhdxdtthygzfxhygzfxgxyxzxyygxg又当z=f(u,v),),(yxu、),(yxv时，有dyyzdxxzdz.全微分形式不变性的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、8.4.2全微分形式不变性设),(vufz具有连续偏导数，则有dvvzduuzdz;dxxvvzxuuzdyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzduuz.dvvz事实上dyyudxxuux,yuud,)(可微dyyvdxxvvx,yvvd)(可微，：全微分的四则运算法则).0(,dd)d()3(;dd)d()2(;dd)d()1(2vvvuuvvuvuuvvuvuvu.致的四则运算法则完全一的则运算法则与一元函数多元函数的全微分的四22dddd1ddd,1vvuuvvvuuvvvzuuzzvuz设）如下：验证（例8已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe.,),sin(yzxzyxezxy求　设函数例29).2cos(2)2sin().2cos()2sin(yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy解法一：)2sin(ddyxezxy用微分法，解法二：yxyxexyyxexyxy2d)2cos(d)2sin()2sin(dd)2sin(yxeeyxxyxyyyxeyxxexyxeyxyeyxyxeyxxyyxezxyxyxyxyxyxyd)2cos(2)2sin(d)2cos()2sin(d2d)2cos(dd)2sin(d可得：由dyyzdxxzzd).2cos(2)2sin().2cos()2sin(yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）小结设),,(xvufz，而)(xu，)(xv，则xfdxdvvfdxduufdxdz，试问dxdz与xf是否相同？为什么？思考题思考题解答不相同.等式左端的z是作为一个自变量x的函数，而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数，写出来为xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvf练习题一、填空题:1、设xyyxzcoscos,则xz________________；yz________________.2、设22)23ln(yyxxz,则xz_______________；yz________________.3、设32sinttez,则dtdz________________.二、设uvuez,而xyvyxu,22，求yzxz,.三、设)arctan(xyz,而xey,求dxdz.四、设),,(22xyeyxfz(其具中f有一阶连续偏导数),求yzxz,.五、设)(xyzxyxfu,(其具中f有一阶连续导数),求.,,zuyuxu六、设),(yxxfz,(其具中f有二阶连续偏导数),求22222,,yzyxzxz.七、设,)(22yxfyz其中为可导函数,验证:211yzyzyxzx.八、设,],),([其中yyxxz具有二阶导数,求.,2222yzxz一、1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos；2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx；3、.)43(1)41(3232ttt二、,])(22[222222yxxyeyyxyxyxxz)(22222])(22[yxxyeyxxyxyyz.练习题答案三、xxexxedxdz221)1(.四、.2,22121fxe