微波技术 1章传输线方程及其解

§1.5传输线方程及其解由上节可知,可以用电压波和电流波概念来代替TEM波传输线上的电场和磁场.即可以用“路”的方法研究电磁波沿传输线的传输特性。所谓“路”的分析方法就是用克希荷夫定理建立传输线方程，求得线上电压和电流的时空变化规律，从而得到电磁波沿传输线的传输特性。平行板传输线中的TEM波+z–directiony-polarizationzzzzyeExeExjjeEyzjzEzjHeEyEyE0000ˆˆˆˆˆ1ˆˆwxzydjjwhere平行板传输线中的TEM波yzdEH+++++JsρszjxsuzjysuzjxslzjyslyzxnteEzHzHnJeEEDneEzHzHnJeEEDnynplateupperdyatynplateloweryatconditionboundaryHEEHE0000ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ:ˆˆ:00000平行板传输线中的TEM波LCmFmHdwCwdLwherezCVjdzEdwjwzEjdzzdIzLIjwzJwdjdzJjdzHjdzzdVeidxEjdxHdzddyHjdyEdzdEjdzdHHjdzdEEjHHjEequationscurlsMaxwellyysusuxwywxdxdyyxxy)/()/()()()()()()()()()(..:'0000平行板传输线中的TEM波的传输线方程)/(11:___)()()(:)()()()()()()/()/()()()()(0000222222smLCvvelocityphasenpropagatioofvelocitywdCLIVzIzVZimpedancesticcharacteriLCwhereeIzIeVzVzLCIdzzIdzLCVdzzVdLCmFmHdwCwdLwherezCVjdzzdIzLIjdzzdVpczjzj长线及分布参数概念一、长线两个非常重要的概念，即“长线”和“分布参数电路”。电路分析中，对于短线系统，可以忽略传输线效应(即可认为传输线不存在)。但对于长线系统，传输线效应不能忽略，必须考虑传输线效应。分布参数概念可以考虑传输线效应。频率高为长线频率低为短线lll引入“电长度”概念,电长度定义传输线的长度与其上所传输的电磁波波长之比。若≥1，称之为“长线”。若1，称之为“短线”。︾传输线方程及其解传输线的分布参数等效图i(z)i(z+u(z)u(z+zz+zz)z)LzRzCzGz二、分布参数电路分布参数电路是相对于集中参数电路而言的，在低频线路中沿线电压电流只与时间有关，而与空间位置无关，电路的分布参数效应可以忽略。当频率升高至高频射频及微波波段时，由上节结论，等效电压电流不仅是时间函数，还是位置函数。尽管传输线是理想导体，电压电流的变化要求将传输线视为具有分布参数的器件。用R1L1C1及G1分别表示传输线单位长度的分布电阻,分布电感,分布电容和分布电导。传输线方程及其解一般传输线方程的解对于传输线Z处的小线元△Z设其两端的电压电流分别为v(z,t)i(z,t)v(z＋△z,t)i(z＋△z,t)，根据克希霍夫定律利用Kirchhoff定律，有两边同除以△Z，并令△Z趋近于零，则有),(tzzv(,)vzt(,)vzt11(,)(,)iztRziztLzt),(tzzi(,)izt(,)izt11(,)(,)vztGzvztCzt式(1.35)的两个方程即为传输线方程,或称电报方程ttziLtziRztzv),(),(),(11ttzvCtzvGztzi),(),(),(11(1.35)--传输线方程及其解(,)vzt])(Re[tjezV(,)izt])(Re[tjezI对于v,i随时间作简谐变化的波，v,i可表示为V(z),I(z)为电压和电流的复振幅值，于是可得复振幅方程为111LjRZ111CjGY其中分别是传输线上单位长度的串连阻抗和并联导纳。将(1.36a)式等号两边对z微分，再将(1.36b)代入，并令,便得均匀长线电压(1.37a)的波动方程112YZ0)()(222zVdzzVd(1.37a))()()()(111zIZzILjRdzzdV)()()()(111zVYzVCjGdzzdI(1.36a)(1.36b)--0)()(222zIdzzId同理，电流的为(1.37b)传输线方程及其解传输线方程的解求解以上两方程，对于坐标原点选在终端情况，得其通解为zzeAeAzV21)(zzeBeBzI21)((1.38a)(1.38b))()(1)(2111zzeAeAZdzzdVZzI由(1.36a)式，(1.38b)又可写为具有阻抗的量纲，称为传输线的特性阻抗。A1，A2是待定常数，γ为传播常数。所以（1.38）式可简化为zzeAeAzV21)()(1)(21zzceAeAZzI(1.39a)(1.39b)1111111CjGLjRYZZZc(1.40)式中传输线方程及其解传输线方程的解最后加进被省略的时间因子，可得全解12(,)jtzjtzvztAeAe)(1),(21ztjztjceAeAZtzi(1.41a)(1.41b)(1.41)式表明，传输线上任意一点的电压和电流均由两个以相反方向传输的行波叠加而成，一个是由信号源向负载端传输的波，称为“入射波”，另一个是由负载端向信号源传输的波，称为“反射波”。(,)(,)(,)vztvztvzt(,)(,)(,)iztiztizt(1.42))()()(zVzVzV)]()([1)()()(zVzVZzIzIzIc或者(1.43)式中入射波反射波分别用v+,i+,v-,i-表示,于是解可记为入射波反射波传输线方程及其解传输线方程的解一般传输线方程解举例通解表达式中，A1，A2是积分常数，由边界条件来确定。常用的边界条件有三种：1）已知终端电压VL，电流IL；2）已知始端电压V0，电流I0；3）已知电源电动势Eg，内阻Zg与负载阻抗ZL。ZgZLV0VLVEgI0IILzz＝0边界条件坐标示意图传输线方程及其解21AAVL)(121AAZIcL将z=0时V(0)＝VL,I（0）＝IL代入(1.39)式，得)(211cLLZIVA)(212cLLZIVA对上两式联立求解得（1.44）zzeAeAzV21)()(1)(21zzceAeAZzI(1.39a)(1.39b)将A1，A2代回（1.39）式中，有zcLLzcLLeZIVeZIVzV)(21)(21)(])(21)(21[1)(zcLLzcLLceZIVeZIVZzIzshIZzchVzVLcL＝)(zshZVzchIzIcLL＝)(（1.45）等价的双曲函数形式（1）已知终端（z＝0）电压VL，电流IL传输线方程及其解传输线方程解举例设始端距负载l,将z=l时V(l)＝V0,I（l）＝I0代入(1.39)式，得012llVAeAe0121()llcIAeAeZ1001()2lcAVIZe2001()2lcAVIZe对上两式联立求解得将A1，A2代回（1.39）式中，有()()000011()()()22zlzlccVzVIZeVIZe()()0000111()[()()]22zlzlcccIzVIZeVIZeZ也可以写成双曲函数形式00()()()cVIzIchzlshzlZ＝00()()()cVzVchzlZIshzl＝实际中已知终端电压VL电流IL求传输线上任意一点的电压电流的表示式用得最多。zzeAeAzV21)()(1)(21zzceAeAZzI(1.39a)(1.39b)(2)、已知传输线始端电压V0,始端电流I0。传输线方程及其解传输线方程解举例一般传输线的特性参数在求解传输线方程中引入的γ和Zc是直接和分布参数有关的描述传输线基本特性的两个参量。1、传播常数γ为传播常数，其实部α表示单位长度上行波振幅的变化，称衰减常数；虚部β表示单位长度上行波相位的变化，称为相位常数。由式(1.48)可得出α和β的一般表达式]))(()[(21212212122111211CGLRCLGR]))(()[(21212212122111112CGLRGRCL(1.49)jCjGLjRYZ))((111111＝(1.48)这里α，β都是频率的复杂函数，但对于无耗和微波低损耗传输线，表达式可以简化。传输线方程及其解一般情况下电阻R可忽略11212111111111111_1___1CLcomparisonBysdEsdEsdDsdJQICGVIGVQCjjhandothertheonCjGCLjCjGLjCjGLjRj（1）对于低耗情况：R1ωL1，G1ωC1代入(1.49)中，并利用二项式定理111111112222RCGLLC11CL(1.50)（2）对于无耗情况：R1，G1＝0，代入(1.49)得0＝11CL（1.51）根据行波的相速与相位常数的关系，可得波在传输线上的相速度为rpcCLv111(1.52)式中c为真空中的光速。由波长与相速的关系，可以得出波在传输线上的波长为rpv022＝＝(1.53)式中λ0是介质为空气时传输线上的波长传输线方程及其解传输线的特性参数2、特性阻抗ZcZc定义是传输线上入射波电压与电流之比，或反射波电压与电流之比的负值，即IVIVZc由前已知，还可以表示为(1.53)1111111CjGLjRYZZZc对于低损耗和无耗传输线，表达式可以简化。（1）对于低耗情况：R1ωL1，G1ωC1所以（2）对于无耗情况：R1，G1＝0，所以)](21[111111CGLRjCLZc(1.54)11CLZc(1.55)传输线方程及其解传输线的特性参数zzeAeAzV21)()(1)(21zzceAeAZzI(1.39a)(1.39b)平行双线：一般在100～1000（欧）之间，常用的有200，300，400，600（欧）。一般在40～150（欧）之间，常用的50和75（欧）。dDdDZrc2ln1202ln1(欧)abZrcln60(欧)在实用中，还常用到特性阻抗的倒数特性导纳，即ccZY1特性阻抗和特性导纳都是与频率及线上位置无关的实数，它的大小只决定于线的结构和尺寸。。对于无耗传输线，同轴线：Dd平行双线横截面ba同轴线横截面下面给出常用的无耗平行双线和同轴线的特性阻抗。传输线方程及其解传输线的特性参数一般在40～150（欧）之间，常用的50和75（欧）。abZrcln60(欧)同轴线：