高数同济六版课件D2_3高阶导数

目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念高阶导数第二章目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版一、高阶导数的概念速度即sv加速度即)(sa引例：变速直线运动目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定义.若函数)(xfy的导数)(xfy可导,或即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为n阶导数,或)(xf的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版设求解:1ayxa221nnxan212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例1.思考:设,)(为任意常数xy问可得目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版nx)1(,,e3xaay例2.设求解:特别有:解:!)1(n规定0!=1思考:,exay.)(ny,exaay,e2xaayxannaye)(xnxe)(e)(例3.设求,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy)(ny1)1(nxy11y2)1(1x,目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例4.设求解:xycos)sin(2πx)cos(2πxy)sin(2π2πx)2sin(2πx)2cos(2πxy)3sin(2πx一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2πn)2πn目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例5.设bxyxasine解:bxayxasine)cossin(exbbxbaxa求为常数,),(ba.)(nybxbxacose)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay222)()(nnbayxabae22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(enbxxa目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例6.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析:)(xf0x,43x0x,23xxxfx02lim)0(300xxfx04lim)0(3000x0x)(xf,122x,62x)0(fxxx06lim200)0(fxxx012lim200)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f不存在.2又0x,24x0x,12x阶数目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版规律二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)!2)1(nn!)1()1(kknnn莱布尼茨(Leibniz)公式及设函数规律目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例7.求解:设,,e22xvux则xkku2)(e2,2xv,2v0)(kv代入莱布尼茨公式,得)20(yx220e22xx219e220x2!219202x218e2)20,,2,1(k)20,,3(k目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例8.设求解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼茨公式求n阶导数)1(2xx22令得由得)0()12(my)0(!)2()1(ymm0)0()2(my12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由得)0(!)2()1()0()12(ymymm目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼茨公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan如下列公式xxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2πn)2πn目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版思考与练习1)()1(!)1(2nnnxny3,)1(!1)(nxnynn1.如何求下列函数的n阶导数?xxy11)1(xxy1)2(3解:解:目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示:令)2(xA2x)1(xB1x11)1)(2(1xx)1)(2(1xx目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版xxy66cossin)4(xxxx4224coscossinsinx2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22baba)4cos(2πnx22cos1sin2解:目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版)1)(2(232xxxx各项均含因子(x–2)1)]([!nxfn2.(填空题)(1)设,cos)23()(16π22xnxxxf则)2()(nf16πcos)1(2xxn16πcos)1(2xxn提示:nx)2(!n22!n(2)已知)(xf任意阶可导,且2n时)()(xfn提示:,)]([)(2xfxf则当)(xf)()(2xfxf3)]([!2xf)(xf)()]([3!22xfxf4)]([!3xf目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版3.试从导出解：yxyyxdddddd22y1xddyxddy1同样可求33ddyx(见P103题4)作业P1031(9),(12);3;4(2);6;9;10(2);*11(2),(3)第四节目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版解:设求其中f二阶可导.备用题