4-1正态分布

第四章正态分布(4学时)1、正态分布.…………….……………..…………........1.5学时2、正态随机变量的线性组合………………….……..0.5学时3、中心极限定理…………………………….…….…....2学时重点：正态分布的定义、性质与计算，中心极限定理难点：中心极限定理主要内容（1.5学时）一、引入正态分布的背景二、正态分布的概念及图形特征三、正态分布的上分位数四、正态分布的基本性质五、正态分布的计算六、正态分布的数学期望与方差七、正态分布的3σ原则第一节正态分布（重点）（1）零件的测量误差、规格大小重量等；（2）一个地区人的身高、体重；（3）一个地区的温度、湿度、降雨量等；（4）资产（或投资组合）的收益率。最重要的连续型随机变量，原因：1、自然现象、社会现象中，许多随机变量可用正态分布描述2、二项分布、泊松分布等随机变量，其极限分布都是正态分布；23.正态分布是统计学,数理统计的基础.此外,三大抽样分布(t分布,分布,F分布),均由正态分布导出.一、引入正态分布的背景22(2)2,1(()2,(0),,)xXfxeXXxN如果连续型随机变量的概率密度为为常数则称服从正态分布,记作:.1、正态分布的定义二、正态分布的概念及图形特征()()()xFxPXxfxdx22()212txedtF(X)图形特点：光滑连续单调增的S形曲线dtexxt2221)(221()()2xxexR)(x)(x2、标准正态分布N(0,1)(0,1).,(),()0,1Nxx的正态分布称为标准正态分布其概率密度分布函数常用表示.重要性：任一正态分布都可通过线性变换转化为标准正态分布.特征：两头低，中间高，左右对称23.N(,)正态分布的图形特征（1）f(x)≥0，即整个概率密度曲线都在x轴的上方;2()221()2xfxe（2）f(x)关于直线x=μ对称，f(μ+h)=f(μ-h).{-}={},,PhXPhhRX因此max(3),1()2()xfxff时概率密度取最大值,即（4）当x→∞时，f(x)→0。即概率密度f(x)以x轴为渐近线.(5)x=μσ，是f(x)的两个拐点的横坐标。(6)位置参数μ：σ固定μ变动时，f(x)左右平移，形状不变形状参数σ：μ固定σ变动时，f(x)上下变动，中心不变三.正态分布的上分位数()(0,1),(01),()1(0,1)PXzXNXzNzP设对任意正数称满足或者的点,称为的上分位数.0.051.例0.01,()10.010.99PXz2.例令参见P310附表2。通过EXECL的normsinv(a)计算标准正态分布的上分位数，normsdist(z)计算分布函数Φ(x)()()10.050.95PXzz0.051.645z(1.64)0.9495,(1.65)0.9505PXPX由(2.327)0.9901,PX由0.012.327z1.(0,1),(1())xXxN若则四、正态分布的基本性质()()xPXx()PXx1()1()PXxx2.(0,1),()2()1(0)XNPXxxx()()PXxPxXx2()1x()ybyaxbxhya()[()]()YXfyfhyhy1().Xybfaa2[()]22()112yabaae2()221()2xXfxe2(,())YNaba即22(,(3.(,))),YXNaXbNaba若则25.(,),())XNFxx-(则(){}{}FxPXxPXx24.(,),(0,1)XNZNX-则1,.3.ab取代入公式即得X()()abPaXbP()x=()()ba()()()()PaXbPaXbbaP310附表2：标准正态分布函数数值表，可解决标准正态分布的概率计算查表.221()()2txxPXxedt五、正态分布的计算表中给的是x0时,Φ(x)的值.0()1()xxx当时,xx{}()xPXx2(,)XN一般正态分布的计算:(1.52)(1.52)0.9357PX解1(0,1),(1.52),(1.52),(-1.52),(-0.751.52),(1.52).XNPXPXPXPXPX例设计算(1.52)1(1.52)PXPX1(1.52)1-0.9357=0.0643(1.52)(-1.52)PX=1-(1.52)=1-0.9357=0.0643(0.751.52)(1.52)-(-0.75)PX(1.52)-[1-(0.75)]=0.9357-1+0.7734=0.7091(1.52)2(1.52)1PX=2*0.9357-1=0.8714:(1.6)1.-=()612PX解2(1011).(1,4),(1.6),(-1.6),(01.6).,()0.95.PXNPXPXPXaPXa例类似例设随机变量计算求常数使得-1()()0.952aPXa=(0.3)=0.6179(-1.6)=-1.()6-12PX=(-1.3)=1-(1.3)=0.09681.6(0-110-12.6)=()-2()PX=(0.3)-(-0.5)=(0.3)-[1-(0.5)]=0.6179-1+0.6915=0.3094,(1.645)=0.95查表可知-11.645=2.292aa}89{XP)2(5.09089)2(19772.01.0228.0解:(1)oo2o.,(),~(,0.5).(1)90,89.(2)800.99,?dCXCXNddXCd例3将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内调节器定在液体的温度以计是一个随机变量且若求小于的概率若要求保持液体的温度至少为的概率不低于问至少为多少99.0}80{)2(XP99.0}80{1XP99.05.0801d,...01099015080d327.20.5-80d即.1635.81d解:定义A={测量误差绝对值大于19.6}(100,0.05)YB24(0,10)100319.6XN例(考研题目)设测量误差.求在次独立重复测量中至少有次测量误差绝对值大于的概率.()(19.6)1(19.6)PAPXPX19.601[2()110]2[1(1.96)]2(10.975)0.05{100}YA设次独立重复测量中发生的次数(3)1(3)PYPY1(0)(1)(2)PYPYPY100199229810010010.950.05*0.950.05*0.950.876CC()()EXEU2(,),(0,1)XUXNN则221()=02uEUduue2(,)XN随机变量六、正态分布的数学期望与方差1、数学期望E(X)()奇函数在对称区间积分()EU+2()2221(,),()2xXNxe则22221()()2uuDUEUedu+-()()DXDU+221()2uude+-=(0,1),()=0XUNEU又22112uedu+-2、方差D(X)()=EX22()DU1、当X～N(0,1)时，查表可得X的取值几乎全集中在[-3,3]内，超出此范围的概率不足0.3%.(||1)2(1)10.6826PX(||2)2(2)10.9544,(||3)2(3)10.9974PXPX22.YN(,)对一般正态分布3,3,YRY尽管但的取值几乎全部[集中于]6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP3(3倍标准原则差原则)七、正态分布的3σ原则课堂练习3.公汽车门高度按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的。设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?21.(8,0.5),(81)(10).XNPXPX求及222.(,),(5)0.045,(3)0.618,,.XNPXPX求28:(8,0.5)(0,1)0.5XXNN解由81(81)()0.50.5XPXP8(2)0.5XP2(2)10.95458108(10)()0.50.5XPXP(4)0.999968338(4)0.5XP21.(8,0.5),(81)(10).XNPXPX求及222.(,),(5)0.045,(3)0.618,,.XNPXPX求5(5)()XPXP解:5()0.04551()0.0455()0.955(1.7)3(3)()XPXP3()0.618(0.3)51.730.31.843.公汽车门高度按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的。设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或满足P(Xh)≥0.99的最小h2(170,6),170~(0,1)6XNNX由170)()0.6(99hPXh故(2.33)0.99010.99查表得:2.33h=170+2.3173*066=184h本节重点总结一、正态分布的定义及性质。二、正态分布的计算。设B={电子元件损坏}(1)求P(B)123解:设A={U200},A={200U240},A={U240}123根据题意,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.001,P(B|A)=0.220022025()(0.8)1(0.8)0.2121P(A)=P(U200)=2备选1某种电子元件在电压U200,200U240,U240这3种情况下,损坏的概率依次为0.1,0.001,0.2.设电源电压UN(220,25).求:(1)此种元件的损坏率;(2)此种元件损坏时,电压200U240的概率.2402202()1(0.8)10.78850.2123P(A)=P(U240)=1-22022022024022025)25(25U2P(A)=P(200U240)=(0.80.8)2(0.8)220212*0.78810.5756UP112233P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)(1)P(B)P(B|A=)=0.212*0.1+0.576*0.001+0.212*0.2=0.064222P(A)P(B|A)(2)由贝叶斯公式,P(B|A)=P(B)0.0090.576*0.001=0.064