32基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.cos)(sin3'xx公式.sin)(cos4'xx公式aaaxxln)(5'公式xxee')(6公式'17(1)lnaogxxa公式xnx1)1(8'公式记一记0()CC公式1为常数1()xx公式2为常数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝2x；(5)y＝2sinx2cosx2.[分析]对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝1x4可以写成y＝x－4，y＝5x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．[解析](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(4)y′＝(2x)′＝2xln2.(5)y′＝2sinx2cosx2′＝(sinx)′＝cosx.•[点评]运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x);应用1:求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.xxycos3'22'32yx一、导数的运算法则法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:应用2:求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-2)(2)y=(1+x6)(2+sinx)9818)23()'32()'23)(32('222xxxxxxyxxxxycos)1()sin2(6'65)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf应用3:求下列函数的导数33)2(2xxy(1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)'cossin('222)3(36'xxxy[例2]求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x＋2；(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；(3)y＝33x4＋4x3.[解析](1)y′＝15x5－43x3＋3x＋2′＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋(2)′＝x4－4x2＋3.(2)解法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5.解法2：∵y＝12x10－7x8－12x6∴y′＝120x9－56x7－72x5.•[点评]1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．•2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．(3)y′＝(33x4＋4x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′(2)求y＝1x＋2x2＋3x3的导数．(1)求下列函数的导数．①y＝x2sinx②y＝x2(x2－1)[解析](1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x.(2)y′＝1x＋2x2＋3x3′＝1x＋2x－2＋3x－3′＝－1x2－4x－3－9x－4＝－1x2－4x3－9x4.[例3]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．[分析]题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．[解析]因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.[点评]本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力．由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu.2ln,,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy复合函数(())yfgx的导数和函数()yfu,()ugx的导数间的关系为'''xuxyyu,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.一般地,对于两个函数()yfu和()ugx,如果通过变量,uy可以表示成x的函数,那么称这个函数()yfu和()ugx的复合函数,记作(())yfgx二、复合函数的概念P16思考:如何求ln(2)yx导数?三.复合函数的导数法则:即复合函数y对x的导数等于:y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数的导数与函数和的导数间关系为：'()'()xyfugxxuxyyu(())yfgx()ugx()yfu或复合函数求导步骤:第一步，分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量u）；第二步，层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）；第三步，做积还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量u还原为原来的自变量x）。.复合而成与由2uy23xu其实，是一个复合函数，2)23(xy问题：的导数？如何求2)23(xy'yxy'2[(32)]'x'24129xx1218x;xu3uyu2;46x分析三个函数解析式以及导数之间的关系:',,xxuyuyxuxuyyy''①②例1：求xy2sin的导数分析：解1：(sin2)(2sincos)yxxxx)sinsincos(cos2xxxx解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?练习设y=(2x+1)5，求y解把2x+1看成中间变量u，函数y=u5，和u=2x+1复合而成，,5)(45uuyu.2)12(xux所以.)12(102544xuuyyxux将y=(2x+1)5看成是由由于求y,12xy设解将中间变量u=1-x2记在脑子中.211().22(1)uyuux也在心中运算这样可以直接写出下式221(1)2(1)xxyxx.12xx例2当堂检测1．函数y=(5x－4)3的导数是（）（A）y’＝3(5x－4)2（B）y’＝9(5x－4)2（C）y’＝15(5x－4)2（D）y’＝12(5x－4)2C2．函数y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是（）（A）y’=Asin(ωx+φ)（B）y’=－Asin(ωx+φ)（C）y’=Aωcos(ωx+φ)（D）y’=－Aωsin(ωx+φ)D3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（）（A）y’=cos(x2+1)－sin3x（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x（D）y’=cos(x2+1)+sin3xB4．函数y=(1+cosx)3是由两个函数复合而成．y=u3,u=1+cosx5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程是.y=16．求的导数32yaxbxc2233221'()(2)3(2)3()yaxbxxaxbaxbaxbxcaxbxc作业：P18A组4567TTTT