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AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2019,8(1),119-134PublishedOnlineJanuary2019inHans.://doi.org/10.12677/aam.2019.81014文章引用:杨吉根,吕鹏辉,陈斌.一致q阶增长条件[J].应用数学进展,2019,8(1):119-134.DOI:10.12677/aam.2019.81014TheUniformq-OrderGrowthConditionJigenYang,PenghuiLv,BinChenSchoolofInformation,TourismandCulturalCollegeYunnanUniversity,LijiangYunnanReceived:Jan.2nd,2019;accepted:Jan.17th,2019;published:Jan.24th,2019AbstractUniformsecondordergrowthconditionisanimportantnotioninoptimizationandhasbeenstu-diedextensively.Recently,asanaturalextensionoftheuniformsecondordergrowthcondition,withapositivenumberqreplacing2,theuniformq-ordergrowthconditionwasintroducedandstudiedin[1].Motivatedby[1],thisthesisfurtherstudiestheuniformq-ordergrowthconditionofaq-orderregularreal-valuedfunctionf.IntermsoftheHöldermetricregularityofthesubdiffe-rentialmappingf∂,weprovidesufficientandnecessaryconditionsforftohavetheuniformq-ordergrowthcondition.Inparticular,usingthemodulusandradiusappearingintheHöldermetricregularityofthesubdifferentialmappingf∂,wegiveanexactquantitativeformulaoftheradiusappearingintheuniformq-ordergrowthcondition,whichimprovessomeexistingresultsontheuniformsecondordergrowthconditionanduniformq-ordergrowthcondition.KeywordsTheUniformq-OrderGrowthCondition,TheHölderRegularity,TheHölderMetricRegularity,Subdifferential一致q阶增长条件杨吉根,吕鹏辉,陈斌云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江收稿日期:2019年1月2日;录用日期:2019年1月17日;发布日期:2019年1月24日摘要一致二阶增长条件是优化中的重要概念,已被广泛研究。近来,作为一致二阶增长条件的自然推广,用一般的正数q代替二,文献[1]引进并研究了一致q阶增长条件。本文在文献[1]的基础上,进一步考虑q-杨吉根等DOI:10.12677/aam.2019.81014120应用数学进展正则函数f的一致q阶增长条件,通过q-正则函数f之次微分映射f∂的Hölder度量正则性刻画了f的一致q阶增长条件。特别地,本文给出了f∂的Hölder度量正则性所涉及模及半径与f的一致q阶增长条件涉及半径之间的确切数量关系,从而改进了一致二阶增长条件及一致q阶增长条件方面的一些现有结果。关键词一致q阶增长条件,Hölder正则性,Hölder度量正则性,次微分Copyright©2019byauthor(s)andHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).引言作为凸性的一个有意义的延拓,在1996年,Poliquin和Rockafellar[2]提出并研究了prox-正则性。设{}:nfRR→+∞是一个真下半连续泛函且()(),xxgphf∗∈∂,若存在(),0,ρδ∈+∞使得对于任意的(),yBxδ∈,()()()()(),,,xfxBxfxδ∈及()(),xgphfBxδ∗∗∈∂都有()()2,,xyxfyfxyxρ∗−≤−+−(1.1)则称f在(),xx∗处是prox-正则的,其中()()(),,Bxfxδ表示乘积空间nRR×中以δ为半径且以()(),xfx为心的开球,(),Bxδ∗表示nR中以δ为半径且以x∗为心的开球,而f∂表示f的Clarke次微分。之后,Bernard和Thibault[3]将上述的prox-正则性推广到无限维空间中,并被很好地研究。特别地,一个真下半连续泛函f的正则性与它的次微分映射f∂的hypomonotocity有着紧密的关系(参见文献[4][5][6][7][8])。当目标函数在小的线性扰动下,prox-正则性在研究目标函数的一致二阶增长条件和tilt-稳定性中起着很重要的作用(参见文献[9]-[16])。特别地,当{}:fXR→+∞在(),xx∗处是prox-正则的及次微分连续时,Poliquin和Rockafellar[14]中证明了()2,0fx∂在Mordukhovich[17]意义下是正定的当且仅当f在x处有tilt-稳定的极小值,即,()fx+∞且存在0δ使得映射[]()(){},:argmin,XxBxMvfxfxvxxδ∈→−−−是单值的,满足()0Mx=且在0v=附近是Lipschitz的。最近,这个结果被Mordukhovich和Nghia[11]和Mordukhovich和Rockafellar[18]分别推广到了Asplund空间和希尔伯特空间。而Drusvyatskiy和Lewis在[9]中证明了f∂在x处有tilt-稳定的极小值当且仅当f在x处满足一致二阶增长条件,即,存在(),,0,rδκ∈+∞及映射()():0,,BBxrϑδ→使得对于任意的()()(),,0,xuBxrBδ∗∈×有()0xϑ=且()()()()()2,.xufxfuuxuκϑϑϑ∗∗∗∗−≤−−−(1.2)在f是希尔伯特空间X上的一个真下半连续凸泛函的假设下,Artacho在[19]证明了f在x处满足一致二阶增长条件当且仅当f∂在(),0x处是强度量正则的。之后,在有限维空间中,将f的凸性减弱为f是次微分连续及prox-正则的,Drusvyatskiy和Lewis[9]证明了类似的结果。近来,在更一般的无限维空间中,许多的学者利用次微分映射f∂的度量正则性和度量次正则性进一步研究了一致二阶增长条件(参OpenAccess杨吉根等DOI:10.12677/aam.2019.81014121应用数学进展见文献[11][15][20][21][22])。适定性是优化中基本概念,它可以叙述如下:一Banach个空间X上的广泛实值下半连续函数f被称为在xX∈处具有适定性,若f的每一个极小化序列{}nxX⊂都收敛于x(即,若每当{}nxX⊂使得()()liminfnnxXfxfx→∞∈=必有limnnxx→∞=)。回顾一个函数:RRϕ++→是admissible函数,若φ是一个非减的函数,()00ϕ=且()00ttϕ→⇒→。下面的适定性特征容易验证(参见文献[23],定理2),f在xX∈处具有适定性等价于存在一个admissible函数++:RRϕ→使得()()(),.xxfxfxxXϕ−≤−∀∈基于适定性的上述特征,通过admissible函数,Zheng和Zhu[24]引进并研究了适定性的稳定性。特别地,他们将一致二阶增长条件推广为一致φ-增长条件:若存在(),,,0,rδκτ∈+∞及映射()():0,,XXBBxrϑδ∗→使得()0xϑ=且对于任意的()()(),,0,XXxuBxrBδ∗∗∈×都有()()()()()(),,xufxfuuxuκϕτϑϑϑ∗∗∗∗−≤−−−(1.3)则称f在x处是满足一致φ-增长条件。在()2ttϕ=的特殊情况下,一致φ-增长条件即回归到一致二阶增长条件。在x是f的局部极小值点且φ是一个凸的admissible函数的条件下,Zheng和Zhu[24]证明了f∂在(),0x处是强度量+ϕ′正则的是f在x处是满足一致φ-增长条件的一个充分条件,其中+ϕ′是φ的右方向导数。该结果要求x是f的局部极小值点的假设在实际应用中有一定的局限性。另一方面,在()2ttϕ=的特殊情况下,不要求x是f的局部极小值点,若f在(),0x处是prox-正则的且次微分连续,则f∂在(),0x处处是强度量+ϕ′正则的是f在x处是满足一致二阶增长条件的一个必要条件。Prox-正则性在研究一致二阶增长条件中起着很重要的作用,可能是因为prox-正则性和一致二阶增长条件涉及到了二阶变分行为之故(见(1.1)和(1.2))。由此对于一个一般的admissible函数就产生了一个问题:是否存在φ-阶正则性,作为prox-正则性的合理推广,使得它在研究一致φ-增长条件中所起的作用与prox-正则性在研究一致二阶增长条件中所起的作用类似?Yao,Zheng和Zhu[1]就解决了上述的问题,将prox-正则性推广为φ-正则性。设{}:fXR→+∞是一个真的下半连续泛函,若存在(),,0,δρτ∈+∞使得对于任意(),XxBxδ∈,()()()()(),,,zfzBxfxδ∈及()(),XufzBxδ∗∗∗∈∂都有()()(),,uxzfxfzxzρϕτ∗−≤−+−则称f在(),xx∗处是φ-正则的。他们也定义了φ-S-正则,φ-次正则及φ-S-次正则(参见文献[1],定义3.1),并用上述的φ-正则性及度量正则性与度量次正则性来研究一致φ-增长条件,得到了一致φ-增长条件的存在性证明,同时还得到了一致φ-增长条件的一个必要条件。不仅改进了之前的一些结果,而且深刻地刻画了一致φ-增长条件。上述所有关于一致增长条件的结果都是存在性的,即存在半径(),0,rδ∈+∞使得当()()(),,0,XXxuBxrBδ∗∗∈×时(1.2)或(1.3)成立。然而在实际应用当中,尤其是在算法的收敛性分析及稳定性分析中,只有半径r和δ存在性是不够的,需要知道相关性质成立的明确范围。本文主要改进了Yao,Zheng和Zhu[1]在得到一致φ-增长条件时只有存在性的不足,我们将给出半径r和δ与条件中出现的系数之间的确切数量关系。2.预备知识在这一章,我们将给出一些常用的符号以及后面讨论中将会用到的一些定义及结论。设X是Banach空间,X∗和XB分别表示X的共轭空间和X的单位闭球。对于xX∈及0δ,设(),XBxδ和[],XBxδ分杨吉根等DOI:10.12677/aam.2019.81014122应用数学进展别表示X中以δ为半径且以x为心的开球和闭球。设{}:fXR→+∞是一个真的下半连续泛函,集合()(){}::domfxXfx=∈+∞和()()(){}:,:epifxXRfxαα=∈×分别表示f的有效定义域和上方图形。对于()xdomf∈及hX∈,用(),fxh↑表示f在x点沿方向h的Rockafelllar方向导数(参见文献[25]),即()()(
本文标题:一致q阶增长条件
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