利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

1导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0xafx及lim0xagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0xfx及lim0xgx；(2)0A，f(x)和g(x)在,A与,A上可导，且g'(x)≠0；(3)limxfxlgx，那么limxfxgx=limxfxlgx。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxafx及limxagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa，xa洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理00，，0，1，0，00，型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，，0，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。2二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围解:（II）当0x时，()0fx，对任意实数a,均在()0fx；当0x时，()0fx等价于21xxaex令21xxgxex(x0),则322()xxxxgxeex，令220xxhxxxxee，则1xxhxxee，0xhxxe，知hx在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数，00hxh；0gx，g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知，200011222limlimlimxxxxxxxxeeex，故12a综上，知a的取值范围为1,2。2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。解：（II）由题设可得，当0,1xx时，k22ln11xxx恒成立。令g(x)=22ln11xxx(0,1xx),则22221ln121xxxgxx，再令221ln1hxxxx(0,1xx)，则12lnhxxxxx，212ln1hxxx，易知212ln1hxxx在0,上为增函数，且10h；故当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx；hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx1h=0hx在0,上为增函数1h=0当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx当(0,1)x时，0gx，当x（1，+）时，0gxgx在0,1上为减函数，在1,上为增函数3洛必达法则知2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx0k，即k的取值范围为（-，0]3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x1，mlnxfx)-1x-1（成立,求正实数m的取值范围解：ln1ln1(1)ln11ln1(1)ln(1)ln(1)lnln1xxxxxxmxmxxxxxxxxx=g（x）-112211()(ln+x-1),()-(1)xlngxxgxxx）（则=222(ln)(1),(1)(ln)xxxxxx令h(x)=22(ln)(1)xxx2()(ln)2ln22,hxxxx令()(rxhx），则2ln22r()xxxx，令M（x）=r(x)，M2-2x（x)=x0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)g(1),而g(1)不存在，对g(x)在x=1处用罗比达法则，1111ln11/1111()limlimlimlim1(1)lnln1ln11ln122lnxxxxxxxxgxxxxxxxxxx，则m》1/2.4.已知函数f(x)=ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=g(x).(1)证明：对于xR，f(x)g(x);(2)当x0时，f(x)1+a1xx,恒成立，求实数a的取值范围。解：分离变量：a(1)(1)xexxx=h(x),去导数，()hx=22(1)1xexxx（x0），分子r(x)=2(1)1xexx,(x[0,)，扩展定义域]，求导2()(3xrxexx）0，可知，r(x)为定义域内增函数，而r（x）r(0)=0.所以()hx》0.为增函数。则ah(0)----不存在，罗比达法则可得为1练习1.2006年全国2理设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．42.2006全国1理已知函数11axxfxex.（Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性；（Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围.3.2007全国1理4.设函数()eexxfx．（Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥；（Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．5.2008全国2理设函数sin()2cosxfxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围．解：（Ⅰ）22(2cos)cossin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx．当2π2π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx；当2π4π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx．因此()fx在每一个区间2π2π2π2π33kk，（kZ）是增函数，()fx在每一个区间2π4π2π2π33kk，（kZ）是减函数解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数sin()2cosxfxaxx若0x，则aR；若0x，则sin2cosxaxx等价于sin(2cos)xaxx，即sin()(2cos)xgxxx则222cos2sinsincos'()(2cos)xxxxxxgxxx.5记()2cos2sinsincoshxxxxxxx，2'()2cos2sin2coscos212sincos212sin2sin2sin(sin)hxxxxxxxxxxxxxxx而000sincos1lim()limlim(2cos)2+cossin3xxxxxgxxxxxx.另一方面，当[,)x时，sin111()(2cos)3xgxxxx，因此13a6.2008辽宁理设函数ln()lnln(1)1xfxxxx.⑴求()fx的单调区间和极值;⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式()fxa…的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.7．2010新课标理设函数)(xf=21xexax.（Ⅰ）若0a，求)(xf的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时)(xf≥0，求a的取值范围.8.2010新课标文已知函数2()(1)xfxxeax.（Ⅰ）若()fx在1x时有极值，求函数()fx的解析式；（Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数当0x时，()0fx，即2(1)xxeax.①当0x时，aR；②当0x时，2(1)xxeax等价于1xeax，也即1xeax.6记1()xegxx，(0,)x，则(1)1'()xxegxx.记()(1)1xhxxe，(0,)x，则'()0xhxxe，因此()(1)1xhxxe在(0,)上单调递增，且()(0)0hxh，所以()'()0hxgxx，从而1()xegxx在(0,)上单调递增.由洛必达法则有0001lim()limlim11xxxxxeegxx，即当0x时，()1gx所以()1gx，即有1a.综上所述，当1a，0x时，()0fx成立.9.2010全国大纲理设函数()1xfxe.（Ⅰ）证明：当1x时，()1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，()1xfxax，求a的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设0x，此时()0fx.①当0a时，若1xa，则01xax，()1xfxax不成立；②当0a时，当0x时，()1xfxax，即11xxeax；若0x，则aR；若0x，则11xxeax等价于111xexax，即1xxxxeeaxex.记1()xxxxeegxxex，则2222221'()=(2)()()xxxxxxxxexeeegxexexexxex.记2()2xxhxexe，则'()2xxhxexe，''()+20xxhxee.因此，'()2xxhxexe在(0)，上单调递增，且'(0)0h，所以'()0hx，即()hx在(0)，上单调递增，且(0)0h，所以()0hx.7因此2'()=()0()xxegxhxxex，所以()gx在(0)，上单调递增.由洛必达法则有000011lim()limlimlim122xxxxxxxxxxxxxxxeexeexegxxexexeexe，即当0x时，1()2gx，即有1()2gx，所以12a.综上所述，a的取值范围是1(,]2.10.2011新课标理已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围.押题若不等式3sinxxax对于(0,)2x恒成立，求a的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当(0,)2x时，原不等式等价于3sinxxax.记3sin()xxfxx，则43sincos2'()xxxxfxx.记()3sincos2gxxxxx，则'()2cossin2gxxxx.因为''()cossincos(tan)gxxxxxxx，'''()sin0gxxx，所以''()gx在(0,)2上单调递减，且''()0gx，所以'()gx在(0,