第4章 线性控制系统的计算机辅助分析

2020/1/211第4章线性控制系统的计算机辅助分析薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用》第二版，清华大学出版社，20062020/1/212系统的分析方法充分利用计算机对线性系统进行分析更新系统分析的观念求解传统方法难以求解的问题离散系统稳定性如何分析？Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补？高阶系统的根轨迹如何绘制？多变量系统如何进行频域分析？2020/1/213本章主要内容线性系统定性分析线性系统时域响应解析解法线性系统的数字仿真分析根轨迹分析线性系统频域分析2020/1/2144.1线性系统定性分析主要内容线性系统稳定性分析线性系统的相似变换线性系统可控性分析线性系统可观测性分析Kalman规范分解2020/1/2154.1.1线性系统的稳定性分析给定线性系统模型，如何分析稳定性？由控制理论可知，用Routh表格可以判定该系统稳定性。EdwardJohnRouth(1831-1907)历史局限性2020/1/216状态方程系统的稳定性连续线性状态方程解析阶稳定性：矩阵的特征根均有负实部2020/1/217离散系统的稳定性离散系统状态方程离散系统时域响应解析阶稳定性判定：所有特征根均在单位圆内2020/1/218Routh判据的历史局限性Routh判据提出时，没有求多项式根的方法现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡离散系统无法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判据，更复杂稳定性分析方法不统一2020/1/219基于MATLAB的稳定性判定方法直接判定状态方程模型由可以求出所有特征根离散系统：传递函数模型：完全同样方法图解判定法连续系统：离散系统：，同时画出单位圆2020/1/2110例4-1高阶系统稳定性判定直接分析方法零极点模型2020/1/2111例4-2高阶离散单位负反馈系统模型MATLAB求解2020/1/21124.1.2线性系统的线性相似变换系统的状态方程表示称为系统实现不同状态选择下，状态方程不惟一相似变换非奇异矩阵状态变换新状态方程模型2020/1/2113状态变换公式MATLAB求解方法2020/1/2114例4-3已知系统和转换矩阵MATLAB求解2020/1/2115变换结果可见，相似变换能改变系统的结构引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式2020/1/21164.1.3线性系统的可控性分析可控性定义系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质，2020/1/2117线性系统的可控性判定可控性判定矩阵基于MATLAB的判定方法构造可控性判定矩阵2020/1/2118例4-4离散状态方程的可控性MATLAB求解2020/1/2119判定矩阵判定矩阵构造方法这样的判定方法同样适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量模型2020/1/2120由Gram矩阵判定可控性引入可控Gram矩阵该矩阵满足Lyapunov方程MATLAB求解矩阵构造2020/1/2121例4-5求Gram矩阵MATLAB命令Gram矩阵2020/1/2122可控性阶梯分解对于不完全可控的系统阶梯分解阶梯标准型MATLAB函数调用若原系统状态方程完全可控，则不必分解2020/1/2123例4-7不完全可控系统2020/1/21244.1.5线性系统的可观测性分析可观测性定义系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质2020/1/2125可观测性判定判定矩阵等同于系统可控性判定Gram矩阵MATLAB求解2020/1/2126Gram矩阵满足Lyapunov方程对偶问题2020/1/21274.1.6Kalman规范分解Kalman规范分解2020/1/2128子空间示意图2020/1/21294.1.6系统状态方程标准型的MATLAB求解常用标准型单变量系统的标准型MATLAB默认的标准型可控标准型实现可观测标准型实现和Jordan标准型实现多变量系统Leunberge标准型侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型2020/1/2130单变量系统的标准型可控标准型可观测标准型2020/1/2131可控可观测标准型转换2020/1/2132可控标准型和可观测标准型，对偶关系2020/1/2133Jordan标准型MATLAB变换2020/1/2134多变量系统的Leunberge标准型由可控性判定矩阵构造矩阵2020/1/2135得出Leunberge变换矩阵编写leunberge.m函数2020/1/2136MATLAB函数清单2020/1/21372020/1/2138标准型的变换方法总结可控标准型可观测标准型Jordan标准型Leunberge标准型2020/1/21394.2线性系统时域响应解析解法给线性系统一个激励信号，输出是什么？有两大类方法解析解方法求解微分方程、差分方程解析解数值解方法主要内容基于状态方程的解析解方法基于传递函数部分方式展开的解析解方法二阶系统的解析解方法2020/1/21404.2.1基于状态方程的解析解方法状态方程模型解析解求解难点2020/1/2141状态增广方法消除B矩阵，变成自治系统增广状态方程自治系统可以直接求解析解2020/1/2142一般输入信号的系统增广一般输入信号模型引入增广状态变量2020/1/2143增广状态方程模型其中解析解2020/1/2144MATLAB实现函数2020/1/2145调用格式信号描述2020/1/2146例4-8连续系统模型初值输入信号求解析解2020/1/2147系统增广增广模型2020/1/2148解析解求解解析解求解结果稳定性2020/1/21494.2.2基于部分分式展开方法求解连续系统的解析解法无重根时部分方式展开2020/1/2150由Laplace反变换求解析解有重根时相应项的解析解为2020/1/2151部分分式的MATLAB求解例4-10输入信号为阶跃信号输出信号计算2020/1/2152MATLAB求解解析解解析解精确值2020/1/2153例4-11带有复数极点的系统阶跃响应解析解解析解2020/1/2154解析解的进一步化简基于Euler公式的化简其中新MATLAB函数2020/1/2155新MATLAB函数清单2020/1/2156例4-12仍考虑MATLAB求解解析解2020/1/2157离散系统的解析解法Z变换无重根时部分分式展开解析解2020/1/2158考虑采样周期例4-142020/1/2159输出信号解析解Z变换求解步骤定义符号变量调用iztrans()函数求解化简2020/1/2160利用符号运算工具箱求解求解结果方法更规范，结果更简单2020/1/2161有重根问题的解析解部分分式表达式的Z反变换例4-14部分分式展开2020/1/2162部分分式展开解析解2020/1/2163符号运算求解解析解更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z变换的符号运算方法求解2020/1/2164时间延迟系统的解析解法例4-152020/1/2165无延迟解析解有延迟解析解2020/1/21664.2.3二阶系统的阶跃响应及阶跃响应指标二阶系统模型闭环模型记则2020/1/2167阶跃响应的解析解无阻尼振荡欠阻尼振荡临界阻尼振荡过阻尼振荡2020/1/2168二阶系统阶跃响应曲线2020/1/2169利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题三维曲面绘制2020/1/2170阶跃响应指标超调量稳态值上升时间调节时间好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能2020/1/21714.3线性系统的数字仿真分析线性系统的解析解可以求解的条件4阶以上的系统需要求解4阶以上的多项式方程，根据Abel定理，无解析解。解析解和数值解结合实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线主要内容线性系统的阶跃响应与脉冲响应任意输入下系统的响应降阶模型的时域分析及比较2020/1/21724.3.1线性系统的阶跃响应与脉冲响应阶跃响应曲线绘制函数多系统曲线绘制2020/1/2173例4-16延迟系统MATLAB语句利用MATLAB提供的功能，可以从曲线上得到更多的信息，如超调量等2020/1/2174MATLAB求解解析解解析解数值解精度比较2020/1/2175例4-17离散化采样周期求解得出的曲线可以比较2020/1/2176ZOH变换Tustin变换，不同采样周期2020/1/2177例4-18多变量系统，阶跃响应MATLAB求解语句2020/1/2178系统藕合的概念静态前置补偿矩阵不能直接乘法运算Pade近似2020/1/2179补偿后系统的模型解藕效果还可以使得多变量系统能直接设计，在设计前必须解藕。后面将介绍解藕的频域方法2020/1/2180系统的脉冲响应曲线MATLAB下的impulse()函数与step()函数调用结构完全一致MATLAB求解可以容易地研究系统的脉冲响应曲线2020/1/21814.3.2任意输入下系统的响应可以利用step()和impulse()函数求解输出信号计算如R(s)已知，则可以直接求解例4-20斜坡响应2020/1/2182MATLAB求解其他输入的响应可以由lsim()函数求取2020/1/2183例4-19多变量系统输入信号MATLAB求解2020/1/2184多变量系统的时域响应可以这样求解比较容易理解曲线含义2020/1/21854.4根轨迹分析单位负反馈闭环系统特征方程对K的不同取值，则可能绘制出每个特征根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。根轨迹用开环信息研究闭环特性2020/1/2186MATLAB求解该函数可以用于单变量不含有时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹绘制。2020/1/2187例4-24开环系统MATLAB求解如何求解临界增益？闭环系统稳定性如何变化2020/1/2188例4-20根轨迹求解求出阻尼在处的增益临界增益处阶跃响应2020/1/2189例离散系统根轨迹根轨迹绘制2020/1/2190例4-22离散系统模型MATLAB求解临界增益求取2020/1/21914.5线性系统频域分析频域分析Nyquist1932Bode，Nichols提出的新图形方法主要内容单变量系统的频域分析利用频率特性分析系统的稳定性系统的幅值裕度和相位裕度多变量系统的频域分析2020/1/21924.5.1单变量系统的频域分析三种表示方法实部与虚部关系曲线即为Nyquist图Nyquist图的缺陷：无对应频率信息横轴对数坐标rad/s，纵轴分贝、度，Bode图幅值与相位关系，Nichols图，无频率信息2020/1/2193Nyquist曲线绘制grid命令绘制等M和等N圆2020/1/2194Bode图绘制Nichols图由nichols()函数绘制可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变2020/1/2195例4-25开环传递函数Nyquist曲线绘制MATLAB曲线特色读取频率信息；频率范围2020/1/2196Bode图绘制快捷菜单读取特性Nichols图的绘制用鼠标读取频率信息弥补了传统Nichol