高一同步专题《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》PDF

《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第1页共7页函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题【类型一】：分离参数，转化为函数的“最值”问题或“值域”问题：设函数()fx（xD）的最大值为max()fx，最小值为min()fx，则（一）“恒成立”问题：（分离参数，转化为函数的“最值”问题）：（Ⅰ）对任意xD，恒有()afx成立max()afx；对任意xD，恒有()afx成立max()afx；（Ⅱ）对任意xD，恒有()afx成立min()afx；对任意xD，恒有()afx成立min()afx；（二）“存在性”问题（“有解”问题）：（分离参数，转化为函数的“最值”问题）：（Ⅰ）存在xD，使得()afx成立（即()afx（xD）有解）min()afx；存在xD，使得()afx成立min()afx；（Ⅱ）存在xD，恒有()afx成立（即()afx（xD）有解）max()afx；存在xD，恒有()afx成立max()afx；“恒成立”问题：（分离参数，转化为函数的“最值”问题）【例题】【例题】已知20xxa对任意0,x恒成立，求实数a的取值范围。〖解〗22211024xxaaxxx，而21124yx（0,x）的最大值为14，所以14a，即实数a的取值范围为1,4。【引伸变式】已知20xxa对任意1,2x恒成立，求实数a的取值范围。〖要点〗此时，21124yx（1,2x）不存在最大值，但值域为1,4，所以，14a。【巩固练习】已知21axx对任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围。《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第2页共7页〖解〗首先，0,1x，2222111111124axxaxxaxxx，其次，10,11,xx，211124yx的最小值为0，所以，0a，即实数a的取值范围为,0。【例题】已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxxax。（1）若2a，求函数()fx的解析式；（2）若函数()fx为R上的单调减函数，①．求a的取值范围；②．若对任意实数m，210fmfmt恒成立，求实数t的取值范围。〖解〗（1）若2a，则当0x时，2()2fxxx，0x时，0x，22fxxx，又函数()yfx是定义在R上的奇函数，所以，0x时，2()()2fxfxxx。所以，222(0)()2(0)xxxfxxxx。（2）①．定义在R上的奇函数()fx为R上的单调减函数()fx在0,上单调递减。当0x时，222()24aafxxaxx，()fx在0,上单调递减002aa。②．对任意实数m，221011fmfmtfmtfmfm又函数()fx为R上的单调减函数，所以，222151124mtmtmmm，而21524ym（mR）的最大值为54，所以，实数t的取值范围为5,4。【例题】已知二次函数()fx的最小值为1，且(0)(2)3ff。（1）求()fx的解析式；（2）若()fx在区间2,1aa上不单调，求实数a的取值范围；《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第3页共7页（3）在区间1,1上，()yfx的图象恒在221yxm的图象上方，试确定实数m的取值范围。〖解〗（1）由已知，可设二次函数2()11fxax（0a），又(0)3f，132aa，所以，2()211fxx。（2）()fx在区间2,1aa上不单调2111212110aaaaaaa，所以102a。（3）在区间1,1上，()yfx的图象恒在221yxm的图象上方，即：对任意1,1x，恒有2()211221fxxxm即2223513124mxxxxx，又23524yx在区间1,1上是单调递减，当1x时，其最小值为min1y，所以，1m，即实数m的取值范围为,1。“存在性”“有解”问题：（分离参数，转化为函数的“最值”问题或“值域”问题）【例题】【例题】若存在正实数x，使2(1)1xx，则a的取值范围是A．,B．2,C．0,D．1,〖解〗20112()122xxxxxaxaax恒成立，又12xyx在正实数集(0,)上是单调递增函数，其值域为010+=1,2，，所以，a的取值范围是1,。【例题】已知函数2()log21xfx（1）求证：函数()fx在(,)内单调递增；（2）若2()log21xgx（0x），且关于x的方程()()gxmfx在1,2上有解，求m的取《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第4页共7页值范围。〖解〗（1）（法一：用复合函数单调性的“同增异减”法则证明）设2logyu，21xu（xR），则2logyu是关于u的增函数，21xu（xR）是增函数，所以2()log21xfx在(,)内单调递增。（1）（法二：按照函数在(,)内单调递增的“定义”证明）设12,,+xx，且12xx，则121212222202121log21log21xxxxxx，即12fxfx，所以2()log21xfx在(,)内单调递增。（2）由已知得：22()()()()log21log21xxgxmfxmgxfx所以，2222212log21log21=loglog12121xxxxxm，1,2x。设2logyu，2121xu，1,2x。则1112221,222,4213,5,,21532135xxxxx2131,2135x，即22log121xm，1,2x的值域为13,35。所以，m的取值范围为13,35。【例题】已知函数()33xxfxk为奇函数。（1）求实数k的值；（2）若关于x的不等式22291130axxaxff只有一个整数解，求实数a的取值范围。【类型二】：借助各自函数的图象与性质：【例题】已知函数2()1xfxa，若0x时，总有()1fx，则实数a的取值范围是A．12aB．2aC．1aD．2a〖解〗联系指数函数的图象可知：221122aaa。【例题】已知函数2()(1)fxxaxb满足(3)3f，且()fxx恒成立，求()fx的解析式。《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第5页共7页〖解〗由(3)93(1)339fabba，又222()(1)0390fxxxaxbxxaxbxaxa，由()fxx恒成立，即2390xaxa恒成立，（联系二次函数239yxaxa的图象）所以，2224(39)01236060606aaaaaaa，所以，6a，9b，2()59fxxx。【类型三】：涉及到两个函数()fx（1xD）、()gx（2xD）：设函数()fx（1xD）的最大值为max()fx，最小值为min()fx；函数()gx（2xD）的最大值为max()gx，最小值为min()gx，则（Ⅰ）任意11xD，任意22xD，恒有12fxgx，minmax()()fxgx；（Ⅱ）对任意11xD，存在22xD，使得12fxgx，minmin()()fxgx；对任意11xD，存在22xD，满足12fxgx，maxmax()()fxgx；（Ⅲ）存在11xD，存在22xD，使得12fxgx，maxmin()()fxgx；（Ⅳ）对任意11xD，存在22xD，使得12fxgx，12()()fxxDgxxD；（Ⅴ）在公共定义域D上，()fx的图象恒在()gx的图象的下方()()fxgx（xD）恒成立()()()0hxfxgx恒成立max()0hx（xD）。【例题】已知函数ayxx有如下性质：如果常数0a，那么该函数在0,a上是减函数，在,a上是增函数。（1）已知24123()21xxfxx，0,1x，利用上述性质，求函数()fx的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()fx和函数()2gxxa，若对任意10,1x，总存在20,1x，使得21()()gxfx成立，求实数a的值。《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第6页共7页-4-3〖解〗（1）222211642182144123()212121xxxxxxfxxxx二次一次442182182121xxxx，设21ux，0,11,3xu，4()8yfxuu，由已知得4()8yfxuu在1,2u上单调递减，在2,3u上单调递增。而122ux。所以，函数()fx的单调递减区间10,2，单调递增区间112，。又1(0)3,4,(1)32fff，所以函数()fx的值域为4,3。（2）由题意知：()2gxxa，0,1x的值域12,24,3aa，所以，31242323232aaaaa，所以32a。【巩固练习】1.若对任意xR，不等式xax恒成立，则实数a的取值范围是A．1aB．1aC．1aD．1a2.若不等式2(1)(1)3(1)0mxmxm对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是。3.当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是。4.若不等式21220axxa对任意(0,)a都成立，那么实数x的取值范围是。5.已知两函数2()4fxxxc，2()287gxxx，（1）对任意3,3x，恒有()()fxgx成立，那么实数c的取值范围是；（2）存在3,3x，使()()fxgx成立，那么实数c的取值范围是；（3）对任意12,3,3xx，恒有12()()fxgx成立，那么实数c的取值范围是；（4）存在12,3,3xx，使得12()()fxgx成立，那么实数c的取值范围是；《函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题》第7页共7页6.（1）若不等式32xxa对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是；（2）若不等式32xxa有解，则实数a的取值范围是；（3）若方程32=xxa有解，则实数a的取值范围是；7.已知函数2()lgfxxaxa，（1）若()fx的定义域