专题复习(六)-几何综合题

专题复习(六)几何综合题题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1类比探究的几何综合题1．(2019·吉林)性质探究如图1，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．3理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8＋43，则它的面积为；(2)如图2，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.①求证：∠EFG＋∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．43类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含α的式子表示)．解：①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG.∴∠EFG＋∠EHG＝∠EGF＋∠EGH＝∠FGH.②MN＝53.2sinα2．(2019·烟台)【问题探究】(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD.①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，则线段AD的长为；AD⊥BD4【拓展延伸】(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α(0°≤α＜360°)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．图1图2解：(2)若点D在BC右侧，如图3，过点C作CF⊥AD于点F.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1，∴∠ACD＝∠BCE，ACBC＝CDCE＝3.∴△ACD∽△BCE.∴∠ADC＝∠BEC.∵CD＝3，CE＝1，∴DE＝DC2＋CE2＝2.∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°，∴△DCE∽△CFD.∴DEDC＝DCCF＝CEDF，即23＝3CF＝1DF.∴CF＝32，DF＝32.∴AF＝AC2－CF2＝532.∴AD＝DF＋AF＝33.若点D在BC左侧，如图4，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1，∴∠ACD＝∠BCE，ACBC＝CDCE＝3.∴△ACD∽△BCE.∴∠ADC＝∠BEC.∴∠CED＝∠CDF.∵CD＝3，CE＝1，∴DE＝DC2＋CE2＝2.∵∠DCE＝∠CFD＝90°，∴△DCE∽△CFD.∴DEDC＝DCCF＝CEDF，即23＝3CF＝1DF.∴CF＝32，DF＝32.∴AF＝AC2－CF2＝532.∴AD＝AF－DF＝23.图3图43．(2019·河南)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BDCP的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是；160°(2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；(3)解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出当点C，P，D在同一直线上时，ADCP的值．解：(2)设BD交AC于点O，交PC于点E.∵α＝90°，CA＝CB，PA＝PD，∴△ABC与△APD是等腰直角三角形．∴∠PAD＝∠CAB＝45°，AB＝2AC，AD＝2AP.∴∠PAC＝∠DAB.又∵ABAC＝ADAP＝2，∴△DAB∽△PAC.∴∠PCA＝∠DBA，BDPC＝ABAC＝2.∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°.∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(3)ADCP的值为2－2或2＋2.提示：按以下两种情况进行分类讨论，如图3、图4.图3图44．(2019·襄阳)(1)证明推断：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.①求证：DQ＝AE；②推断：GFAE的值为；(2)类比探究：如图2，在矩形ABCD中，BCAB＝k(k为常数)．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；1(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP，当k＝23时，若tan∠CGP＝34，GF＝210，求CP的长．解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝∠DAQ＝90°.∴∠BAE＋∠OAD＝90°.∵AE⊥DQ，∴∠ADQ＋∠OAD＝90°.∴∠BAE＝∠ADO.∴△ABE≌△DAQ(ASA)．∴DQ＝AE.(2)结论：FGAE＝k.理由：过点G作GM⊥AB于点M.由折叠的性质，得AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠AFO＝90°，∠AFO＋∠FGM＝90°.∴∠BAE＝∠FGM.∴△ABE∽△GMF.∴GFAE＝GMAB.∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形．∴GM＝AD.∴GFAE＝ADAB＝BCAB＝k.(3)过点P作PN⊥BC交BC的延长线于点N.∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠BFE＋∠EFG＋∠FGC＝∠EFG＋∠FGC＋∠CGP＝180°.∴∠CGP＝∠BFE.∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝BEBF＝34.设BE＝3k，BF＝4k，则由勾股定理可得，EF＝AF＝5k.∵FGAE＝23，FG＝210，∴AE＝310.∴(3k)2＋(9k)2＝(310)2，∴解得k＝1或－1(舍去)．∴BE＝3，AB＝9.∵BC∶AB＝2∶3，∴BC＝6.∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6.∵∠B＝∠FEP＝∠PNE＝90°，∴∠FEB＋∠PEN＝90°，∠PEN＋∠EPN＝90°.∴∠FEB＝∠EPN.∴△FBE∽△ENP.∴EFPE＝BFEN＝BEPN，即56＝4EN＝3PN.∴EN＝245，PN＝185.∴CN＝EN－EC＝245－3＝95.∴PC＝CN2＋PN2＝955.5．(2019·德州)(1)如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果(不必写计算过程)；(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由．解：(1)HD∶GC∶EB＝1∶3∶1.(2)连接AG，AC.∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，∠DAC＝∠HAG＝30°，∴易求AD∶AC＝AH∶AG＝1∶3.由旋转的性质，得∠DAH＝∠CAG.∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶3.∵∠DAB＝∠HAE＝60°，∴∠DAH＝∠BAE.在△DAH和△BAE中，AD＝AB，∠DAH＝∠BAE，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE(SAS)．∴HD＝EB.∴HD∶GC∶EB＝1∶3∶1.(3)有变化，HD∶GC∶EB＝1∶5∶2.理由：连接AG，AC.∵AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，即AD∶DC＝AH∶HG＝1∶2.设AD＝k，则DC＝2k，AC＝k2＋（2k）2＝5k.又∵∠ADC＝∠AHG＝90°，∴△ADC∽△AHG.∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶5.由旋转的性质，得∠DAH＝∠CAG.∴△DAH∽△CAG.∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶5.由旋转的性质，得∠DAH＝∠BAE.∵DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，∴△ADH∽△ABE.∴DH∶BE＝AD∶AB＝1∶2.∴HD∶GC∶EB＝1∶5∶2.类型2与图形变换有关的几何综合题6．(2019·绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中：①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．解：(1)①AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.②显然∠MAD不能为直角，当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∴AM＝202.当∠ADM为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∴AM＝1010.(2)连接CD1，由题意得∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝AD21＋AD22＝302.又∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.∴CD1＝CD22＋D1D22＝306.∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，即∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△ABD2≌△ACD1(SAS)．∴BD2＝CD1＝306.7．(2019·宿迁)如图1，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180)．(1)如图2，当0＜α＜180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC；(2)如图3，直线CE，AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；(3)将△BDE从图1位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．解：(1)∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC.∴BDBA＝BEBC.∴BDBE＝BABC.由旋转的性质，得∠DBA＝∠EBC.∴△BDA∽△BEC.(2)∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°.理由：设AB交CG于点O.∵△BDA∽△BEC，∴∠DAB＝∠ECB.∵∠BOE＝∠ABC＋∠ECB＝∠AGC＋∠DAB，∴∠AGC＝∠ABC＝30°.(3)如图，顶点D的运动轨迹为DK︵(半圆，K为AB的中点)．由(2)知∠AGC＝30°，则以AC为边向左作等边△AOC，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则点G在⊙O上．作AN切半圆B于点M，交⊙O于点N.∵A，D，G三点始终共线，∴点G的运动轨迹为沿BN︵由B到N再回到B.连接OB，ON.∵AN切半圆于点M，∴∠AMB＝90°.∵BK＝AK，∴MK＝BK＝AK.∵BM＝BK，∴BM＝MK＝BK.∴△BMK是等边三角形．∴∠MBK＝60°.∴∠NAB＝30°.∴∠BON＝2∠NAB＝60°.∴BN︵的长为60×π×4180＝4π3.分析图象可知，点G的运动路程是BG︵的长的两倍，即8π3.8．(2019·十堰)如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．(1)填空：∠CDE＝(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；180°－α2(3)若α＝90°，AC＝52，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．解：(2)AE＝BE＋233CF.理由如下：补全图形如图所示．∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△CBE，∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°.∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE.∴DF＝EF＝CFtan60°＝33CF.∵AE＝AD＋DF＋EF，∴AE＝BE＋233CF.(3)