定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中（555200）王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果)(xf是区间ba,上的连续函数，并且)()(xfxF，那么babFaFdxXf)()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。2、例题讲义例1、计算edxxx1)21(解：因为xxxx21)ln2（所以edxxx1)21(=22212)11(ln)(ln|lneeexxe）（【解题关键】：计算badxXf)(的关键是找到满足)()(xfxF的函数)(xF。跟踪训练：1计算20)cos(dxxex二、利用定积分的几何意义求定积分。1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在ba,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形面积S=badxXf)(2、例题讲义：例2、求由曲线12xy，直线2yx及y轴所围成的图形的面积S等于=___________解：联立方程组（如图所示）11xyxy解得34yxS=BCDOBCEAOBSSS曲边梯形曲边梯形=dxxxdxx)1(1111214210）（）（=412231023|)22132(|)3221xxxxx（=38【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和例3、求dxx402)2-4（的值解：令)0()2(42yxy则有)0()2(422yxy及）（）（04222yyx右图所以221)2-1402ASdxx圆（【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分。练习：由直线21x，x=2，曲线xy1及x轴所围图形的面积为（）A.415B.417C.2ln21D.2ln2三、利用变换被积函数求定积分1、从积分变量x分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变换被积函数求其定积分。2、例题讲义例4、求抛物线xy22与4xy直线所围成的图形的面积。解：方法1分割如右图如图所示联立方程组422xyxy解得4822yxyx或CDEODCABCOABSSSSS曲边梯形曲边梯形三角形曲边梯形dxxxdxxdxx)42(22221)2(844020=18方法2：由xy22得22yx，由4xy得4yx所以S=18)24(42-2dyyy【解题关键】：改变被积函数求面积比分割求面积简单四、定积分与几何概型知识的交叉应用例5、如图，四边形OACB是AB=1,AD=2的矩形，阴影部分是由直线x=1与抛物线xy22围成的区域，在矩形ABCD内（含边界）任意取点，则这点取自阴影部分（含边界）的概率是多少？解：如图所示本题是古典概型322212210dxxSSpABCDOBC矩形曲边梯形【解题关键】：求曲边梯形OACBD面积练习：设区区域31,20|),(yxyxD，在区域D内任取一点，则此点落在区域11,20|),(2xyxyxM内的概率是多少？参考文献1、《人教版数学选修2-2》2、《新教材完全解读2-2》3、《历年高考试题》