2016年全国3卷理科数学试题及答案解析

绝密★启封并使用完毕前注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合|(2)(3)0,|0SxxxTxx，则ST（）(A)[2，3](B)（-，2]U[3,+）(C)[3,+）(D)（0，2]U[3,+）【答案】D（2）若i12z，则4i1zz（）(A)1(B)-1(C)i(D)i【答案】C【解析】试题分析：4i4ii(12i)(12i)11zz，故选C．考点：1、复数的运算；2、共轭复数．（3）已知向量13(,)22BAuuv，31(,)22BCuuuv，则ABC（）(A)30(B)45(C)60(D)120【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C．下面叙述不正确的是（）(A)各月的平均最低气温都在0C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于20C的月份有5个【答案】D（5）若3tan4，则2cos2sin2（）(A)6425(B)4825(C)1(D)1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．（6）已知432a，254b，1325c，则（）（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab【答案】A【解析】试题分析：因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选A．（7）执行下图的程序框图，如果输入的46ab，，那么输出的n（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B（8）在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD．由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAABACADAD，故选C．(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18365（B）54185（C）90（D）81【答案】B(10)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）323【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选B．（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,AB分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A（12）定义“规范01数列”na如下：na共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若4m，则不同的“规范01数列”共有（）（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若,xy满足约束条件1020220xyxyxy错误!未找到引用源。则zxy的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数zxy经过点1(1,)2A时取得最大值，即max13122z．（14）函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像可由函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3（15）已知fx为偶函数，当0x错误!未找到引用源。时，()ln()3fxxx错误!未找到引用源。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________．【答案】21yx【解析】试题分析：当0x时，0x，则()ln3fxxx．又因为()fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx，所以1()3fxx，则切线斜率为(1)2f，所以切线方程为32(1)yx，即21yx．（16）已知直线l：330mxym错误!未找到引用源。与圆2212xy错误!未找到引用源。交于,AB两点，过,AB分别做l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB错误!未找到引用源。，则||CD错误!未找到引用源。__________________.【答案】4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知数列{}na错误!未找到引用源。的前n项和1nnSa错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。其中0．（I）证明{}na错误!未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；（II）若53132S错误!未找到引用源。，求．【答案】（Ⅰ）1)1(11nna；（Ⅱ）1．由01a，0得0na，所以11nnaa.因此}{na是首项为11，公比为1的等比数列，于是1)1(11nna．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1．（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yab中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，aybt．【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4t，28)(712iitt，55.0)(712iiyy，89.232.9417.40))((717171iiiiiiiiytytyytt，99.0646.2255.089.2r．因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点．（I）证明MN平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）8525．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A为坐标原点，以,ADAP所在直线分别为,yz轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN法向量的夹角来处理AN与平面PMN所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN//，221BCTN.又BCAD//，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN//.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.设(,,)nxyz为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取(0,2,1)n，于是||85|cos,|25||||nANnANnAN.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21yx．试题解析：由题设)0,21(F.设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22baRbQaPbbBaA.记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax......3分（Ⅰ）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak，所以ARFQ.......5分（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12xy.....12分（21）（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos1)fxaxax，其中0a，记|()|fx错误!未找到引用源。的最大值为A．（Ⅰ）求()fx；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明|()|2fxA．【答案】（Ⅰ）'()2sin2(1)sinfxaxax；（Ⅱ）2123,05611,18532,1aaaaAaaaa；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）'()2sin2(1)sinfxaxax．（Ⅱ）当1a时，'|()||sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa．………4分当01a时，将()fx变形为2()2cos(1)cos1fxaxax．令2()2(1)1gtatat，则A是|()|gt在[1,1]上的最大值，(1)ga，(1)32ga，且当14ata时，()gt取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa．令1114aa，解得13a（舍去），15a．（ⅰ）当105a时，()gt在(1,1)内无极值点，|(1)|ga，|(1)|23ga，|(1)||(1)|gg，所以23Aa．（Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin2(1)sin|2|1|fxaxaxaa.当105a时，'|()|1242(23)2fxaaaA.当115a时，131884aAa，所以'|()|12