2018-2019学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试题-解析版

1绝密★启用前江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题评卷人得分一、填空题1．命题：，的否定是______．【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标．【详解】抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3．在平面直角坐标系xOy中，三点，，共线，则实数a的值为___．【答案】【解析】【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．【详解】由题意得：2，解得：a，故答案为：．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．4．在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是____．【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得k的范围．【详解】若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1或k＞2，故答案为：k＜1或k＞2．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为______．【答案】【解析】【分析】OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，3∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d2．故答案为：2．【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．在平面直角坐标系xOy中，，，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】求出线段AB的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程．【详解】A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r|AB|，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．7．函数的单调递增区间为______．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．【详解】4函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8．已知直线l，m及平面，，，则“”是“”的______条件请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空【答案】必要不充分【解析】【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥又m⊂，得：“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，得“l⊥m”时，可能直线l，所以不充分.【详解】由“l⊥“则直线l垂直平面中的任意直线，又m⊂，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，即“l⊥m”可能有l成立，所以“l⊥m”是“l⊥”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题.9．九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______．5【答案】30【解析】【分析】连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解．【详解】如图，连接A1C，根据等底等高，易得：，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，则该椭圆离心率为______．6【答案】【解析】【分析】利用已知条件AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力．11．设是两条不同的直线，，是两个不同的平面下列命题中：若，，则；若，，则；若，，则．7正确命题的序号是______．【答案】【解析】【分析】在中，与相交、平行或异面；在中，或；在中，由面面平行的性质定理得．【详解】解：由是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故正确．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知是函数的切线，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，8则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1，b＝lnm﹣1，则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和点，，若在圆C上存在点P，使得，则半径r的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】点A（0，），B（0，），求出点P的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r的取值范围．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为：2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0）9则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．故答案为：[2，42]．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）令f′（x）＝0，解得x＝a或x，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（）＜0，即（﹣a+1）[（1）（a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0且a,解得a＜1或a＞110故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、解决问题的能力．评卷人得分二、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，，，，以A，B为焦点的双曲线过C，D两点．求双曲线的方程；写出该双曲线的离心率和渐近线方程．【答案】（1）（2）离心率,渐近线方程为【解析】【分析】（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；（2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．【详解】（1）因为等腰梯形，，，，.所以，，，.所以，.11因为，所以.又因为，为双曲线（，）的焦点，所以，所以.所以.所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，所以双曲线的离心率.又双曲线的渐近线方程为.【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16．如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且，．证明：平面BCF；证明：．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取DC的三等分点P，通过平面MNP∥平面FCB可得线面平行；（2）利用DC垂直平面FBC，得到CD⊥平面MNP，易证．【详解】12(1)取DC的三等分点P，使DP，∵，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：．若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；已知点为直线上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若，求点P的坐标．13【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM2＝PC2﹣MC2，又由PMPO，则2PO2＝PC2﹣MC2，代入点的坐标变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②，联立①②，解可得x1的值，进而计算可得y1的值，即可得答案．【详解】（1）将圆化标准方程为，所以圆心，半径.又因为圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，所以设切线的方程为.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即.解得：或.所以切线的方程为或.（2）因为为切线且为切点，所以.又因为，所以.又因为，，所以，化简可得：①；因为点在直线上，所以②.14联立①②可得：，消去可得：，解得或.将代入②可得：，所以点的坐标为.将代入②可得，所以点的坐标为.综上可知，点的坐标为或.【点睛】本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18．光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为均为正常数如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上不含A，若物体P到光源A的距离为x．试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并