高观点下的高中数学1

高观点下的高中数学问题与教学浙江省湖州中学蒋际明一是立意的鲜明性；二是背景的深刻性；三是情境的新颖性；四是设问的巧妙性.高考数学创新在哪里？高观点高观点下的数学问题1、什么叫高观点？“高观点”狭义是指高等数学和现代数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、教育学知识、心理学知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论等等。2、什么叫高观点下高中数学问题？“高观点”下的数学问题,是指与高等数学相联系的高中数学问题或者说含有高等数学背景或思想的中学数学问题.高观点下试题的命制是以现代数学和高等数学的知识背景来命制中学数学题目的一种新的命制模式。3、什么是高观点下的中学数学教学？在教学中运用高等数学的理论、思想、方法与观点剖析中学数学相关内容的一种教学方式，这种教学有利于探究高等数学对中学数学教学的指导作用，积极把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。高观点下的中学数学教学能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力。结合点初等数学深化高等数学浅化4.高观点下的高中数学1、绝对值与距离2、两边夹方法3、凸函数的概念及其判定定理4、闭区间连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点存在定理）5、伸缩变换6、级数展开7、中值定理8、李普希茨条件9、不动点理论10、Newton迭代法（2008年浙江省高考题）已知t为常数，函数22yxxt在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_______一、绝对值（2014高考浙江卷）10.设函数21)(xxf，),(2)(22xxxf|2sin|31)(3xxf，99,,2,1,0,99iiai，记|)()(||)()(||)()(|98991201afafafafafafIkkkkkkk，.3,2,1k则()A.321IIIB.312IIIC.231IIID.123III17．设a∈R，若x0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=__________。例。已知二次函数cbxaxxf2)(（,,abc均为整数．．，且0a），对一切实数x都有412)(2xxfx成立，求二次函数的表达式。二、两边夹法三、伸缩变换定义：设平面内一点),(yxP通过坐标变换变为),(yxP，满足)0,(yyxx（1）则称此坐标变换为伸缩变换，它是一类仿射变换性质1线段中点的象是线段象的中点．性质2若封闭曲线C围成的面积为S，它的象C围成的面积为S，那么SS．性质3直线bkxy上的线段AB的长度和它的象BA的长度有如下关系BAkkAB222211例已知椭圆1922xy，试问是否存在直线l，使椭圆截l所得的线段被直线21x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围．作变换yyxx31922yx23xl)32,2()2,3(的倾斜角的范围是21．如图，设椭圆,01:2222babyaxC动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（１）已知直线l的斜率为k，用kba,,表示点P的坐标；（２）若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ba.四、中值定理拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（i）f(x)在闭区间[,]ab上连续；（ii）f(x)在开区间(,)ab内可导；则在,ab内至少存在一点，使得'fbfafba.例：（2007年高考全国卷）设函数xxfxee.（Ⅰ）证明：fx的导数'2fx；（Ⅱ）证明：若对所有0x，都有fxax，则a的取值范围是(,2].（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当0x时，对任意的a，都有fxax(ii)当0x时，问题即转化为xxeeax对所有0x恒成立.令00xxfxfeeGxxx，由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点，使得'00fxffx，即'Gxfee，由于''000feeee，故'f在0,x上是增函数，让0x得''min02Gxfeef，所以a的取值范围是(,2].例：（2009年辽宁卷）已知函数21()(1)ln,12fxxaxaxa（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,0,xx，12xx，有1212()()1fxfxxx1212()()1fxfxxx01)()(2121xxxfxf0])([])([212211xxxxfxxf(*)令1)()(xfxg,则(*))(xg在),0(上单调递增.常规思路:解2：由拉格朗日中值定理可知，必存在00x，使得12012()()'()fxfxfxxx，因此，只需证明：'()1fx对(0,)x恒成立，也即证：1(1)0axax，（Ⅰ）略；（Ⅱ）'1212()()fxfxfxx.由（Ⅰ）得，'1afxxax.所以要证1212()()1fxfxxx成立，即证'11afa.下面即证之.令2(1)1gaa，则214115aaaa.由于15a，所以0.从而0g在R恒成立.也即21aa.又12,xx，12,0,xx，故0.则211aa，即'11afa，也即1212()()1fxfxxx.同背景题（2010辽宁理21题）已知函数2()(1)ln1fxaxax，（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设1a，如果对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx，求a的取值范围．分析：（2）1212|()()|4||fxfxxx即1212()()||4fxfxxx，由（1）知，1a时，()fx在(0,)上单调递减，1212()[()()]0xxfxfx，12121212()()()()||4fxfxfxfxxxxx，1212()()4fxfxxx由拉格朗日中值定理知，必存在0(0,)x，使12012()()'()fxfxfxxx，即0'()4fx．也即0421axxa。命制背景：本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。观察例题15中的四个选项的命制，可以发现它们从函数已有的泰勒展开式出发适当扩大条件和结论之间的距离而得来。泰勒级数展开利普希茨条件（2009浙江省高考题）10．对于正实数，记M为满足下述条件的函数()fx构成的集合：12,xxR且21xx，有212121()()()()xxfxfxxx．下列结论中正确的是()A．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMB．若1()fxM，2()gxM，且()0gx，则12()()fxMgxC．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMD．若1()fxM，2()gxM，且12，则12()()fxgxM（福建省高考题）如图，连结ABC的各边中点得到一个新的111,ABC又连结111ABC的各边中点得到222ABC，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，111ABC，222ABC，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知(0,0),(3,0),AB(2,2),C则点M的坐标是。xyACB1A1C1B2A2C2BO区间套定理（广东省高考题）已知函数2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，'()fx是f(x)的导数；设11a，1()'()nnnnfaaafa（n=1,2,……）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有naa；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。Newton迭代法（2014浙江省高考题）5.在46)1()1(yx的展开式中，记nmyx项的系数为),(nmf，则)3,0(2,1()1,2()0,3(ffff）（）A.45B.60C.120D.210范德蒙恒等式著名问题的探索（2007年湖北卷理科第21题）已知,mn为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x时，(1)1mxmx；（Ⅱ）对于6n，已知11(1)32nn，求证1(1)(),1,2,,32nmmmnn；（Ⅲ）求出满足等式34(2)(3)nnnnnn的所有正整数n.第（Ⅰ）问的背景：广义贝努利（Bernoulli）不等式的一个变式；第（Ⅱ）问的背景：源于重要limennn所导出的一个不等式；第（Ⅲ）问的背景：源于埃斯柯特（Escott）猜想的不定方程问题.著名问题的探索（2009年湖北卷理科第15题）已知数列{}na满足：1am（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时,当为奇数时.若61a，则m所有可能的取值为.【背景】世界数学名题“3x+1问题”，俗称角谷猜想.⑴高观点问题的设计来源于高等数学或者模仿高等数学的叙述方式，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，所以没有任何将高等数学引进高考的误导。⑵掌握高等数学与初等数学的内在联系，多运用高观点居高临下地分析和处理“高观点”下的高中数学问题，并在高等数学与初等数学的衔接上尝试着用高等数学知识编一些不脱离中学实际的“高观点”题。高观点的教学方式的变革新一轮的深化普通高中数学课程改革要求重视学生的主动发展与个性发展，课堂教学强调以学生为主体，以教师为主导，在教师的引导下，通过学生主动参与、合作互动、有效探究，完成知识体系的构建，激活思维，培养创新能力和解决实际问题的能力．新课程理念要求教师转变观念，树立科学的教学观、学生观，课堂教学以学生发展为本，重思想方法，重能力培养，重知识应用，凸显数学本质、关注学生个性和未来的发展。1、过于重视题目的讲解,忽视了学生的情感体验。2、过于重视“教”,忽视“学”3、过于重检测,忽视学习过程4、过于重视类型,忽视数学思想5、过于重视“大容量、快节奏、高密度”,忽视科学性和艺术性6、过于重视参考资料,忽视课本7、过于重视做题数量,忽视做题效果8、过于重视能力,忽视数学概念9、过于重视单个知识点的训练,忽视知识网络化10、过于重视眼前利益,忽视学生的发展和创新当前数学教学中的几个误区一．概念教学重生成《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解．”二．解题教学重思想数学思想方法是指对数学及对象，数学概念和数学结构以及数学方法的本质认识，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是分析问题和解决问题的指导原则.数学思想方法蕴涵在知识发生、发展和应用的过程之中，是知识向能力转化的桥梁，也是问题解决的内在规律，对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义．三、能力培养重发展丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是新课程追求的基本理念．课堂教学不仅要使学生学会数学知识，更重要的是要使学生学生学会学习，掌握获得数学知识的方法，并形成再学习的能力，为终身学习、未来发展奠定基础，这是数学教育的最终目标．Aaron