高一数学三角函数的定义3

1.2.1三角函数定义锐角三角函数的定义:在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.sinBCAABcosACAABtanBCAACCBAcotACABC当角度不是锐角时，它的三角函数又如何定义呢？sinα=，cosα=，tanα=。ryrxxyryxMPyxOcotxy叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=；ryry叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=xyxymlAryxPyxO任意角的三角函数:叫做角α的余弦，记作cosα,即cosα=；rxrx它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。角α的其他三种函数：角α的正割：1seccosrx角α的余割：1cscsinry角α的余切：1cottanxy两点说明：(1)终边相同的角，三角函数值分别相等。(2)终边在y轴时，正切函数不存在。2y=tanx,x≠kπ+（k∈Z）从而三角函数的定义域是y=sinx,x∈Ry=cosx,x∈R例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的六个三角函数值。解：因为x=2，y=－3，所以13rsinα=31313yrcosα=21313xrtanα=32yxcotα=23xysecα=132rxcscα=133ry例2.求下列各角六个三角函数值：（1）0；（2）π；（3）23例3.角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=则b的值是（）35解：r=216bcosα=23516xbrb解得b=3.（A）3（B）－3（C）±3（D）5A例4.在直角坐标系中，终边过点(1，)的所有角的集合是.3解：点(1，)在第一象限，且x=1，y=33所以r=2，sinα=，cosα=3221所以满足条件的角α=2kπ+3{α|α=2kπ+，k∈Z}3例5.已知角α的终边上一点P(－，y)(其中y≠0)，且sinα=，求cosα和tanα.324y解：sinα=2243yyyry解得y2=5，y=55当y=时，cosα=,tanα=641535当y=－时，cosα=,tanα=64153三角函数在各象限内的符号角α是“任意角”，由三角函数定义可知，由于P(x,y)点的坐标x,y的正负是随角α所在的象限的变化而不同，所以三角函数的符号应由角α所在的象限确定.__++yxOcosα与secα的符号__++yxOsinα与cscα的符号tanα与cotα的符号__++yxO口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦口诀中提到三角函数为当前正项的函数例1.确定下列三角函数值的符号:（1）cos250º;（2）（3）tan(－672º)；（4）)4sin()311tan(解：（1）250º在第三象限，所以cos250º0.(2)－在第四象限，所以sin(－)0.44(3)－672º在第一象限，所以tan(－672º)0.(4)在第四象限，所以tan()0.113113例2.设sinθ0且tanθ0，确定θ是第几象限的角。解：因为sinθ0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。例3.若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能B例4.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A.sin+cos0B.tansin0C.coscot0D.cotcsc0B例5.已知，则为第几象限角？1212sin解：因为，所以sin20,1212sin则2kπ22kπ+π,kπkπ+2所以是第一或第三象限角.练习1.函数y=++的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}|sin|sinxxcos|cos|xx|tan|tanxxC2.已知角θ的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是()(A)(B)－(C)或－(D)不确定25252525C3.设A是第三象限角，且|sin|=－sin,则是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角2A2A2AD4.sin2·cos3·tan4的值()(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定B5.若sinθ·cosθ＞0,则θ是第象限的角一、三06.sin(－π)+cosπ·tan4π－cosπ=.236137133解：∵P(－2,y)是角θ终边上一点,r=7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ=－,求cosθ的值.5524y25sin54yy解得y=－1.所以cosθ=－.255