第二章电磁场中电子的运动

电子在电磁场中的运动西安交通大学康永锋电子光学第二章(Kang)P.2提纲牛顿运动方程拉格朗日方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质引言电子光学第二章(Kang)P.3引言),(ifrr运动规律电子光学的主要研究对象是带电粒子的运动规律。（质点动力学-轨迹）当我们忽略了带电粒子之间相互的电磁作用时，就可以将带电粒子运动看作为单个质点运动。因此可以利用单个粒子的质点运动方程，即牛顿型运动方程求解带电粒子运动规律。曲坐标系的拉格朗日方程，以及相对论效应。变分原理（哈密顿原理和最小作用原理）以及与光线光学的相似性。波动性原理；自由空间以及大尺度外电磁场，不考虑量子力学；只考虑衍射效应。电子光学第二章(Kang)P.4提纲引言拉格朗日方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质牛顿运动方程电子光学第二章(Kang)P.5牛顿运动方程),(ifrr洛仑兹力牛顿运动方程加速电位和能量守恒定理直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程电子光学第二章(Kang)P.6牛顿运动方程),(ifrr洛仑兹力eEB具有电荷为，运动速度为电场强度和磁感应强度分别为和的电磁场中运动，将受到罗伦兹力的作用，可以表示为:的电子在BeEeF(2-1)•上式有两部分，第一部分为电场力，它对电子做功，即改变电子的能量，产生电子的加速和减速运动；•第二部分为磁场力，对电子不做功，它不能改变电子的能量，只改变运动方向。•利用该式可以描述电子的运动。电子光学第二章(Kang)P.7牛顿运动方程),(ifrr牛顿方程电子的动量满足牛顿方程：(2-2)•非相对论情形（电子速度远小于光速）BeEedtpdBeEedtdmdtpd0•高能粒子201mpcBeEemdtd)1(20电子光学第二章(Kang)P.8牛顿运动方程),(ifrr加速电位和能量守恒定理由于磁力是不做功的，考虑带电粒子能量的变化仅仅由电场决定，用速度点乘牛顿方程的两端右端项的第二项磁场项等于零，可以得到方程：(2-3)•等式左边变换为：Eemdtd)1(202202200022322322211()[(1)]()(1)2(1)11dvdvmvmmcdvddtdtmcdtdt•等式右边变换为()drudxudyudzdUeEeUeedtxdtydtzdtdt电子光学第二章(Kang)P.9牛顿运动方程加速电位和能量守恒定理能量守恒(2-4)令粒子速度为零时，电位为零。定义加速电位U*动能、势能和静止能量守恒；粒子在任一点动能完全由加速电位决定。粒子的运动速度0)1(220eUcmdtd220*021mceUmc0202(1)122eUUmeUmc电子光学第二章(Kang)P.10牛顿运动方程)()21(200eUdtdmdtddtdm左端项右端项加速电位和能量守恒定理能量守恒（低速）同理，用速度点积牛顿方程两端，可得：可得0)21(20eUmdtd电子光学第二章(Kang)P.11牛顿运动方程加速电位和能量守恒定理能量守恒（低速）(2-4)22000011()()22mmeUU说明，带电粒子的能量为恒定值，即动能与位能的和等于常数。因此可以建立电子运动速度与电位之间的关系。电子光学第二章(Kang)P.12牛顿运动方程加速电位和能量守恒定理能量守恒（低速）(2-5)引入加速电位U*•上式表示了在低速情况下，加速电位与电子速度之间的关系，其中电位表示的是规范化电位，即考虑电子动能为零作为参考点。•用它可以计算电子光学仪器的电子能量。在高速情况下，需考虑相对论。Ume02电子光学第二章(Kang)P.13牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程运动方程的直角坐标形式的三个分量方程为：)(0yzxBzByeeExm)(0zxyBxBzeeEym)(0xyzByBxeeEzm电子光学第二章(Kang)P.14牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程运动方程的圆柱坐标形式的三个分量方程可有直角坐标变换而来；利用坐标变换，可建立直角坐标x和y与圆柱坐标r和ψ之间的关系为：cosrxsinry上面的坐标对时间求微分有：cossinsin2cos2rrrrxsincoscos2sin2rrrry电子光学第二章(Kang)P.15牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程coscossincos00ymxmFFFyxrcossincossin00ymxmFFFyxzF将而r方向的力表示为x和y方向的力的投影，可以得到分量形式：不变)()]cos(sin)cos(sin[)sinsincossincos2sin()coscossincossin2cos(2022222022202220rrmrrmrrrrmrrrrmFr电子光学第二章(Kang)P.16牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程将而r方向的力表示为x和y方向的力的投影，可以得到分量形式：cossincossin00ymxmFFFyx)()2()sin(cos)sin(cos2[)cossincoscos2cossin()sincossinsin2sincos(cos)sincoscos2sin(sin)cossinsin2cos(cossincossin2002222022202220202000rdtdrmrrmrrmrrrrmrrrrmrrrrmrrrrmymxmFFFyx电子光学第二章(Kang)P.17牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程)(20rrmFr)()2(200rdtdrmrrmFzmFz0将x和y的微分形式用r和ψ的微分形式代入，上述方程可以得到圆柱坐标方程下的牛顿方程：电子光学第二章(Kang)P.18牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程)()(20BzBreeErrmzr)()(20zrBrBzeeErdtdrm)(0rzBrBreeEzm因此，将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中，可得电子光学第二章(Kang)P.19牛顿运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程课本（2.1.15）式给出了任意一般正交曲线坐标系的牛顿运动方程，相当复杂。电子光学第二章(Kang)P.20提纲引言牛顿运动方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质拉格朗日方程电子光学第二章(Kang)P.21拉格朗日方程拉格朗日方程的意义直角坐标系下推演拉格朗日方程磁场存在的情形考虑相对论后的拉格朗日函数拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系电子光学第二章(Kang)P.22拉格朗日方程拉格朗日方程的意义1.牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容。2.但是牛顿运动方程运用到曲线坐标时，表达式比较复杂，而且缺乏直观意义；3.而采用分析力学中的拉格朗日方程，利用广义坐标的表达形式更为直观，物理意义更为清晰。4.利用广义坐标，把粒子的速度V和势函数U和A用广义坐标q1,q2和q3及其对时间的导函数表示，则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程。电子光学第二章(Kang)P.23拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程由于静电场为保守场，因此可建立位函数W与场作用力的关系式为：xWFxyWFyzWFz可以利用微分的性质，将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为xTdtdzyxmxdtdxmdtdxmFx)))(2(()(222000可得0xWxTdtd电子光学第二章(Kang)P.24拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程由于动能T只与速度有关，位能W只与坐标有关，根据偏微分的性质，动能T对坐标的微分为零，而位能W对速度的微分为零，因此用函数WTL0dLLdtxx带入方程中，可以得到上式的等价方程为：同理对y和z分量可得出类似的方程，如果将式中的坐标用广义坐标表示0dLLdtqq在分析力学中已经证明，在qi为任意广义坐标时上式均成立。电子光学第二章(Kang)P.25拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程拉格朗日函数静电场是位场，因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后，得到静电场中的拉各朗日函数eUmL220iqiqLiiqTqLiiLWqq如果把称为广义速度，可以称为广义的力，而将称为广义动量，那么称为位场决定的力电子光学第二章(Kang)P.26拉格朗日方程磁场存在的情形因为磁场不是位场，磁场作用力不能用上面的位函数微分表示力，但可以证明存在一个对应的广义力为：BUA在电场强度向量为及磁感强度为E定义的电磁场中，可以用电位和磁矢位表示为：tAUEABiiiqMqMdtdQ)(电子光学第二章(Kang)P.27拉格朗日方程磁场存在的情形))((AtAUeBeEedtPd右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用，后一项表示磁位引起的磁场作用。牛顿运动方程可以写为：电子光学第二章(Kang)P.28拉格朗日方程磁场存在的情形将右端项写成分量式，并化成全微分形式有：)()(xAzAzeyAxAyetAexUedtPdzxxyxxdtdAezxAyxAxxAexUexzyx)(其中dtdAtAzzAyyAxxAxxxxx)()(zxAyxAxxAexUezyx)(tAzzAyyAxxAexxxx电子光学第二章(Kang)P.29拉格朗日方程磁场存在的情形同理，对y和z分量也存在同样的方程，因此就有)()(AedtdAUedtPdAeM令右端项后面的一项为202mLTWMeUeA修正的拉格朗日函数为则拉格朗日方程与牛顿方程一致。电子光学第二章(Kang)P.30拉格朗日方程考虑相对论后的拉格朗日函数静电场考虑磁场22021vLmceUc考虑相对论修正后，上式第一项并不代表粒子运动的动能。22021vLmceUeAc电子光学第二章(Kang)P.31拉格朗日方程拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系从拉格朗日方程出发，能直接导出第一节给出的正交曲线坐标系的运动方程。举个例子，在球坐标系中，静电场情形拉格朗日函数从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程，见课本（2.2.14）2222220(sin)2mLrrreUeA