野兔生长问题 (2)

论文题目：野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。摘要：本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量关键词：分析数据生长规律异常现象预测数量一．问题重述野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。二．模型假设地球上有限的资源和环境条件下使野兔总数受到限制。而有图表可知增长率随着野兔数量的增加而减小，设mN表示自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数，假设野兔的增长速度与现有野兔数成正比，但增长的比例N(t)的增加而减小。三．符号说明mN————自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数0r—————T属于[0,3]时的增长率1r—————T属于[4,6]时的增长率2r—————T属于[7,9]时的增长率四．模型建立由于在T=4，T=5，T=6出现反常情况，所以我们将年份分为三段[0,3],[4,6],[7,9]满足)())(1()(tNNtNrdttdNm（其中r为常数）.....................(1)将（1）式改写为rdtdNNNNm11两边积分得crtNNNmln即rtmAeNNN（其中A为待定常数）当t属于[0,3]时,设N(0)=0N代入上式可得N(t)=trmmeNNN)0(00)1(1。令rr00,得rtmmeNNNtN)1(1)(0当t属于[4,6]时,设N(4)=0N代入上式可得)4(01)1(1)(rmmeNNNtN。令1r+4=r,得rtmmeNNNtN)1(1)(0当t属于[7,9]时,设N(7)=0N代入上式可得trmmeNNNt)7(02)1(1)N(。令2r+7=r,得rtmmeNNNtN)1(1)(0所以T属于[0,3],[4,6],[7,9]rtmmeNNNtN)1(1)(0五．模型求解令a=r,b=mN1求参数a,b的MATLAB程序function[a,b,q]=hare(p,T)输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1),输出参数a,b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;在T属于[0,3],对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值0.999996295432800.099998990654181.000001896730560.10000006995945在T属于[4,6]，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值0.499999514703010.200000053216010.499983964746560.20000085565547在T属于[7,9]，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值1.000005087174110.100000057968451.000009756401800.10000014562299所以在T[0.3]时，t=0时，0N=1bmN1=10.0100，r=0.9999tetN9999.00100.910100.10)(T[4,6]时t=4时，N（t）=0N=6.00512mN=5r=0.4999tetN4999.01674.015)(T[7,9]t=7时，N（t）=0N=7.56101mN=10r=1tetN3226.0110)(当T=10时，代入第三段方程tetN3226.0110)(得N（10）=9.99954六．结果分析在T=4,T=5,T=6这三年野兔增长有异常，野兔数量大幅下降，原因可能是引入了野兔的天敌或遭到人为捕杀。在其他年份野兔数量呈现自然增长。七．模型的优缺点及推广模型的优点：综合运用了多个软件，准确求解。对结果的预测符合实际，是可行的。模型的缺点:野兔的增长受多方面因素影响，不可能为定值。为方便求解，我们假定野兔的自然增长率为一定值，这样会造成一定的误差。模型的推广：如果考虑有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。竞争力较强的种群最终会达到环境容许的最大数量，我们可以从稳定状态的角度分别讨论这些关系。八．参考资料[1]袁震东，束金龙，蒋鲁敏。数学建模简明教程[M].上海：华东师范大学出版社，1997.[2]罗万成。大学生数学建模案例精选[M].成都：西南交通大学出版社，2007。[3]姜启源，谢金星，叶俊。数学模型[M]。北京：高等教育出版社，2003.附录1：满足)())(1()(tNNtNrdttdNm（其中r为常数）.....................(1)将（1）式改写为rdtdNNNNm11两边积分得crtNNNmln即rtmAeNNN（其中A为待定常数）当t属于[0,3]时,设N(0)=0N代入上式可得N(t)=trmmeNNN)0(00)1(1。令rr00,得rtmmeNNNtN)1(1)(0当t属于[4,6]时,设N(4)=0N代入上式可得)4(01)1(1)(rmmeNNNtN。令1r+4=r,得rtmmeNNNtN)1(1)(0当t属于[7,9]时,设N(7)=0N代入上式可得trmmeNNNt)7(02)1(1)N(。令2r+7=r,得rtmmeNNNtN)1(1)(0所以T属于[0,3],[4,6],[7,9]rtmmeNNNtN)1(1)(0附录2：令a=r,b=mN1求参数a,b的MATLAB程序function[a,b,q]=hare(p,T)输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1),输出参数a,b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;在T属于[0,3],对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值0.999996295432800.099998990654181.000001896730560.10000006995945在T属于[4,6]，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值0.499999514703010.200000053216010.499983964746560.20000085565547在T属于[7,9]，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值1.000005087174110.100000057968451.000009756401800.10000014562299所以在T[0.3]时，t=0时，0N=1bmN1=10.0100，r=0.9999tetN9999.00100.910100.10)(T[4,6]时t=4时，N（t）=0N=6.00512mN=5r=0.4999tetN4999.01674.015)(T[7,9]t=7时，N（t）=0N=7.56101mN=10r=1tetN3226.0110)(当T=10时，代入第三段方程tetN3226.0110)(得N（10）=9.99954