复合函数求导高阶导数

y=f(u),u=(x)y=f((x))一般的可分解为y=sinu,u=(2x+3)课前复习复合函数可分解为y=sin(2x+3)?令u=(2x+3)则y=sinu所以复合函数可分解为：y=sin(2x+3)一、复合函数的求导法则1、引例(1)求的导数2xy=exx(e)=e猜已知，则2x2x(e)=e?解：因为,则2xxxe=ee2xxxxx(e)=(e)e+e(e)解1是错误的。2xy=e是复合函数。直接套用基本初等函数求导公式求复合函数的导数是不行的。xxxx2x2x2x=ee+ee=e+e=2e2、法则定理3.7设关于可导，关于可导，则由，复合而成的关于可导，且有u=f(x)xy=g(u)uu=f(x)y=g(u)y=g(f(x))xxuxdydydu=y=y.udxdudx或求的导数，如：2xy=e于是uxuxuxy=yu=(e)(2x)u2x=e2=2e链式法则uy=e,u=2x令，例1求的导数f(x)=sin5x解：设y=sinu,u=5xxuxuxf(x)=y=yu=sinu(5x)=cosu5=cos5x5=5cos5x例2求函数的导数5y=(3x+2)解：设u=3x+2,5y=u因为4uxy=5u,u=3,所以44xuxy=yu=5u3=5(3x+2)3则4=15(3x+2)解：设则例3求函数的导数2y=ln(1-x)2u=1-xy=lnu因为ux1y'=,u'=-2x,u所以xux1y'=y'u'=(-2x)u22x=x-12-2x=1-x练习1、求函数的导数tanxy=e解：设uy=e,u=tanx因为u2uxy'=e,u'=secx所以xuxy'=y'u'=u2esecxtanx2=esecxy=lnu,u=sinxxuxuxy=yu=(lnu)(sinx)11=cosx=cosx=cotxusinxy=lnsinx练习2、求函数的导数解：g(x)g(x)=u2u=x+1221x+12x+12g(x)=x+1例4求的导数解21=2x2x+1通过这道题你有什么体会？2x=x+1熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外向内、由表及里逐层求导。例6求的导数2y=cosx解：y'=[(cosx)2]'=2cosx=2cosx(-sinx)=-sin2x例7求3y=sin(1+x)的导数解:3y=cos(1+x)3(1+x)23=3xcos(1+x)(cosx)'例5.设求解:)cos(1xe))sin((xexe)tan(xxee思考:若存在,如何求))cos((lnxef的导数?xfdd))cos(ln(xef))cos((lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习:设,)))(((xfffy.,)(yxf求可导其中机动目录上页下页返回结束例8求的导数。210y=(x-1)解292dy=10(x-1)(x-1)dx29=10(x-1)2x29=20x(x-1)这一步可省略。21xxy=(e)-(e)21xx2-1=e()-2xex21xx2-1=e-2xex21xxy=e-e求函数的导数。例9练习求下列函数的导数2x2.y=esin3x2x2xy=(e)sin3x+e(sin3x)2x2x=2esin3x+3ecos3x解：解223dy1=(1+x)2xdx32232=x(1+x)3231.1+x例10求曲线在点处的切线方程。32x+1y=()3x+21(0,)8解曲线在点处的切线斜率，且1(0,)8k=f(0)因为33222x+12x+12(3x+2)-3(2x+1)y=()=(u)()=3u3x+23x+2(3x+2)22242x+113(2x+1)=3()=3x+2(3x+2)(3x+2)所以3k=f(0)=16这样所求切线方程为13y-=(x-0)816即16y-3x=2二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章一、高阶导数的概念速度即sv加速度即)(sa引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数)(xfy的导数)(xfy可导,或即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为n阶导数,或)(xf的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束设求解:1ayxa221nnxan212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例1.思考:设,)(为任意常数xy问可得机动目录上页下页返回结束nx)1(,,3xaeay例2.设求解:特别有:解:!)1(n规定0!=1思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeayxanneay)(xnxee)()(例3.设求,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy)(ny1)1(nxy11y2)1(1x,机动目录上页下页返回结束例4.设求解:xycos)sin(2x)cos(2xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)!2)1(nn!)1()1(kknnn莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束例7.求解:设,,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220x2!219202xe2182)20,,2,1(k)20,,3(k机动目录上页下页返回结束作业P1031(9),(12);3;4(2);第四节目录上页下页返回结束