6-1 平面向量的概念及线性运算

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）考纲要求考情分析1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.从近三年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点．尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，如2012年浙江卷5、辽宁卷3等．主要考查了向量的线性运算及几何意义，另外与向量共线和平面向量基本定理交汇命题，如2012年大纲卷6等．预测：2013年高考对本部分内容的考查仍以向量的线性运算及几何意义为主，保持选择、填空题形式，难度不大.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(对应学生用书P97)1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或模)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的．(3)单位向量：长度等于的向量．大小方向长度长度为0任意1个单位课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(4)平行向量：方向或的向量．平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上．规定：0与任一向量．(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．相反非零共线向量相等相同相等相反相同平行课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）2．向量的加法和减法(1)加法①法则：服从三角形法则、平行四边形法则．②运算性质：a＋b＝(交换律)；(a＋b)＋c＝(结合律)；a＋0＝＝.(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则．b＋aa＋(b＋c)0＋aa课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）问题探究1：你能给出|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(a，b不共线)的几何解释吗？提示：几何意义是“平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和”．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）3．实数与向量的积(1)长度与方向规定如下：①|λa|＝；②当时，λa与a的方向相同；当时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.|λ||a|λ0λ0(λμ)aλa＋μaλa＋λb0课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）4．两个向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得.b＝λa课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）问题探究2：两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(对应学生用书P97)1.着重理解向量以下几个方面(1)向量的模；(2)向量的方向；(3)向量的起点和终点；(4)共线向量；(5)相等向量．2．当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)若|a|＝|b|，则a＝b.(4)单位向量都相等．(5)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．(6)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．3B．4C．5D．6课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【解析】(1)错．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．(2)对．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．(3)错．两向量模相等方向不一定相同．(4)错．要看向量的方向是否相同．(5)错．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.(6)错．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．【答案】C课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）涉及平面向量的有关概念命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②若AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）解析：①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段．②错，因为AB→＝DC→，则可能A、B、D、C四点在一条直线上．③正确．④错，若b＝0，则对不共线的向量a与c，也有a∥0，0∥c，但a与c不平行．答案：B课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）在△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【解】DE→∥BC→AD→＝23AB→⇒AE→＝23AC→＝23b.BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，∴DN→＝12DE→＝13(b－a)，课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．由△ADN∽△ABMAD→＝23AB→⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(1)三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则．(2)在△ABC中，当M为BC中点时，AM→＝12(AB→＋AC→)应作为公式记住．(3)在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2012年珠海调研)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）解析：由已知条件MB→＋MC→＝－MA→.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E，延长CM交AB于F，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心.AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.答案：B课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值．无论上述哪种题型都离不开共线向量定理．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【思路启迪】(1)由已知求BD→，判断AB→与BD→的关系从而判断A、B、D的关系．(2)应用共线向量的充要条件，列方程组求得k值．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【解】(1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）设a，b是两个不共线向量．若AB→＝2a＋kb，CB→＝a＋b，CD→＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.解析：由于A，B，D三点共线，所以AB→∥BD→，又AB→＝2a＋kb，BD→＝CD→－CB→＝a－2b，因此有2a＋kb＝λ(a－2b)，解得k＝－4.答案：－4课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）(对应学生用书P98)易错点零向量“惹的祸”下列命题正确的是()课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB→＋BC→＋CA→＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【错解】错解一：a、b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A.错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC中，AB→、BC→、CA→围成了一个封闭图形，故AB→＋BC→＋CA→＝0，故选B.错解三：当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【错因分析】错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB→＋BC→＋CA→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（理）【正确解答】∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为