物理竞赛微积分初步(求导积分)

微积分初步•函数的导数与微分•函数的不定积分与定积分§1函数、导数与微分一、变量、常量与函数•变量：在某一过程中取值会不断变化的量。•常量：在某一过程中取值始终不变的量。•函数：变量y按某种确定的关系随变量x的变化而变化，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量，写作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x•复合函数：若y是z的函数y=f(z)，而z又是x的函数z=g(x)，则称y是x的复合函数，记作：y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)二、函数的导数△x△yxyy=f(x)xx+△x设函数y=f(x)在x处有一增量△x，相应地函数有增量△y，则比值xxfxxfxy)()(叫函数y=f(x)在x到x+△x之间的平均变化率。dxdyxyxfyx0lim)(''•函数y=f(x)在x处的导数定义为：例：求函数y=x2在x=1和x=3时的导数值。解：由有xxxxxxxxfxxfxy222)()()(xxyyx20lim所以当x=1时，y’=2，当x=3时，y’=6△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ•导数的几何意义：从图中知道，△y/△x是过P、Q两点的割线的斜率，而当△x0时，割线成为过P点的切线，因而导数y’=f’(x)表示曲线在x处切线的斜率。函数y=f(x)在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数y=f(x)随x的变化率。•基本函数导数公式1212121211221)1()()1()()11(,)1()(arccos)11(,)1()(arcsin)(ln)()(ln)ln()(logcsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)()(,0)(xarcctgxxarctgxxxxxxxeeaaaxxaxxxctgxxtgxxxxxnxxccxxxxann为常数•导数的基本运算法则：（设u=u(x),v=v(x)）dxdududydxdyxguufyxxfxfyyxvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu则若的反函数，则为若为常量),(),()()()()()(,)(,)(;)()(102例1：求y=x3lnx的导数解)ln(ln1313232xxxxxxy例2求y=sinx/x的导数解22xxxxxxxxysincossincos•二阶导数与高阶导数前述函数的导数是y对x的一阶导数，若将一阶导数y’再次对x求导，则为二阶导数：22dxyddxdydxdxfy)(同理，将二阶导再对x求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。例求y=x3+3x2的二阶导数66632xyxxy三、函数的极值x1x2x3xy若函数y=f(x)在某一点x1的函数值f(x1)比邻近各点的函数值都大或都小，则称x1为一个极值点，f(x1)为函数的一个极值。图中x1和x3为极大值点，x2为极小值点，f(x1)和f(x3)为极大值，f(x2)为极小值。极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：f’(x)=0极大值点的条件是：f’(x)=0，f’’(x)＜0极小值点的条件是：f’(x)=0，f’’(x)＞0例求函数y=4x3-3x2+5的极值点和极值解：因y’=12x2-6x令y’=0得x1=0,x2=1/2此为其两个极值点。又y’’=24x-6，有y’’(x1)=-6＜0，y’’(x2)=6＞0因而x1=0是极大值点，对应的极大值为y1=5x2=1/2是极小值点，对应的极小值为y2=19/4四、函数的微分例求函数y=5x+sinx的微分dxxdxxxdxxfdy)cos()sin()(55函数y对自变量x的导数dxdyxf)(可将dx看成是自变量x的一个趋于零的微小增量，称为自变量的微分；而相应的将dy看成是函数y的微小增量，称为函数的微分。有：dxxfdy)(§2不定积分一、原函数前一节学了求函数y=f(x)的导数f’(x)，现若已知一函数F(x)的导数为f(x)，要求原函数F(x)例因(x3)’=3x2，所以x3为3x2的原函数（sinx)’=cosx，sinx是cosx的原函数∵F’(x)=[F(x)+c]’，c为任意常数，∴函数f(x)的原函数有任意多个：F(x)+c二、不定积分•定义：函数f(x)的所有原函数F(x)+c叫f(x)的不定积分，记为：cxFdxxf)()(•不定积分的性质：cxFdxxFxfdxxf)()()()(这说明不定积分是求导数的逆运算。•不定积分公式：caxarctgadxxacaxdxxacctgxxdxctgxxdxcxxdxcxxdxcedxecaadxacxdxxcnxdxxcaxadxcdxxxxxnn11arcsin1cscsecsincoscossinlnln1102222221•不定积分运算法则：dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()(.,)()(.21为常数3.若能找到函数u=u(x)，使duugdxxf)()(且积分cuFduug)()(较易求出，则：cxuFduugdxxf)()()(例1求xdx1解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：cxcuuduxdx11lnln例2求dxbax)sin(解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：cbaxacuauduadxbax)cos(cossin)sin(111例3求dxxx12解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：cxcuduudxxx232232121312321211///)(例4求dxeexx)cos(33解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：cecuududxeexxx)sin(sincos)cos(333313131§3定积分设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，将区间[a,b]作n等分，各小区间的宽度为△x，又在各小区间内选取一点xi得出函数在这些点处的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x•定义：baniixndxxfxxf)()(lim10为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。f(x)为被积函数，a,b分别为积分下限和上限。•定积分的几何意义：abxyy=f(x)f(xi)△x由图可知f(xi)△x为图中一个小区间的面积，因而定积分：badxxf)(表示了区间[a,b]上，曲线y=f(x)下方的面积。注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积。•定积分的主要性质：bccabababababababaabdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfdxxfdxxf)()()(.)()()()(.)()(.)()(.4321•定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式）若不定积分cxFdxxf)()(则定积分)()()()(aFbFxFdxxfbaba由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数F(x)），再求F(b)-F(a)例1求2121xxdx解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：2521252112111212121121212222ln)ln(ln)ln()ln(lnxxxdxxcuuduxxdx例2求302/sincosxdxx解：令u=cosx,微分得：du=-sinxdx24718131313133033023322)(cossincoscossincos//xxdxxcxuduuxdxxyxy=x2y=4-x2AB例3求由曲线y=x2和曲线y=4-x2所包围的面积。解：先求出两曲线交点A,B的x坐标为:2221xx由定积分的几何意义知有：23153222242232222222)()()(xxdxxdxxxS