分析相速群速及色散问题

2012届本科毕业论文题目：分析相速群速及色散问题学院：物理与电子工程学院专业班级：学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月12日新疆师范大学教务处目录1引言..............................................................12.电磁波传播......................................................12.1.单色平面电磁波与相速........................................12.2.波包与群速度................................................33.相速度和群速度的区别..............................................64.相速与群速的关系..................................................65.色散..............................................................86．结论............................................................11参考文献：.........................................................12致谢..............................................................13分析相速群速及色散问题摘要：本文通过讨论光的相速度和群速度的产生原因一定量和定性的方法对两种光速作出了较为全面的解释，并讨论了相速度和群速度的关系。阐述了介质的色散性质。并给出了色散介质中相速度与群速度的具体表达式。分别分析了正常色散与反常色散区域内相速度与群速度的具体表达式。关键词：相速度；波包与群速度；色散；折射率；正常色散；反正常色散。新疆师范大学2012届本科毕业论文11引言相对论指出了：真空中的光速c是信号传播的限制速度。然而，在一些力学，电磁学和光学书里，却常常看到相速度，群速度出现超光速的情况，这是否与相对论的理论相矛盾呢？相速度，群速度都是用来描述波的传播的物理量。由于在实际情况中，无论是单色光源或者调谐锐度很高的无线电发射机，所发射的波总有一定的频率，形成一个波列。因此我们研究波的传播时，必须考察这一波列中所有单色波的合成。由波动方程所确定的光波速度nc，反映了光波波面相位的传播速度。由于色散的存在，在同一介质中传播的不同频率的光波具有不同的相速度，也就是说，同一光信号所包含的不同光谱成分在色散介质中不能同步传播。这样就出现一个问题，当我们在距离光源较远的空间某点观察来自该点发出的光信号时，在同一时刻接收到的不同频率的光信号实际是光源在不同时刻发出的。2.电磁波传播2.1.单色平面电磁波与相速经典物理学理论表明：温度高于绝对零度的物体会不断地向外辐射电磁波。世界上不存在温度等于或低于绝对零度的物体，因此电磁波是永久存在的，并且可视为是能量的特定表现形式。下面我将说明电磁波在真空中也需要借助场来传播。先简单比较一下机械波与电磁波的传播机制：机械波经波源产生是必须通过实物介质的协助才能向外传播的，而电磁波传播的条件并不是没有，而是借助客观存在的一种物质形态—场来完成的。这个是可以理解的，因为电磁波是依靠同相振荡的电场与磁场产生的，那么产生的电磁波反过来是不可能脱离电场与磁场而单独存在的，那么在电磁波传播的途径中就不可能离开电磁场。事实上，我们也可以根据万有引力定律来理解，由于物质波的波粒二象性，一个波就对应一个“粒子”，那么此粒子必定无法逃离引力场，因此可以认为电磁波必定处于引力场中。综上，电磁波的传播可以认为是借助电磁场，更一般地，是借助物质场来传播的。单色电磁波是最为简单的电磁波，也就是我们所熟知的电磁波的波长和角频率保持恒定不变。那么单色电磁波的传播特点又有哪些呢？下面就对单色电磁波作一些介绍。新疆师范大学2012届本科毕业论文2根据麦克斯韦方程组可以得到波动方程的单色平面电磁波的电场分量为)cos(),(0txkEtxE,（2.1-1）式（2.1-1）中k为波矢量，方向时刻与波的等相面（在同一时刻，相位相同的点构成的平面）垂直，如果是平面波，由于波前（相位为常数的平面）是相互平行的，那么此单色平面电磁波的传播方向就唯一确定了，也就是说波矢量注明了波的传播方向；是角频率，表示在2时间间隔内全振动的次数，有时候也简称频率（以下将角频率都称为频率）,这是因为角频率与频率f只相差一个常数因子2，有关系式f2成立。而磁场分量可以由得到的电场分量然后根据电磁关系EkB1（2.1-2）因为BEk,则：EnEnEkBˆˆ11电磁波是横波，也即kBE,,满足右手螺旋定则，那么电磁波的传播方向也就可以由BE唯一确定了，现在我们引入相速度pv。波的相速度，顾名思义，就是指波的相位在空间中向前传递的速度。值得注意的是，在测定相速度的时候我们必须根据某个相位基准点进行测定，也就是测定等相位的传递速度，比如大家在高中接触到的波速就是现在这里刚刚引入的相速度，那时我们已经习惯选取波峰或波谷这两个特殊相位点进行观测了。相速度的大小可根据波的频率f与波长，或者是频率与波矢量k的关系式表示：kfvp（2.1-3）由ctzk，两边对t求导kdtdz则相速度kvp方向就是波矢量k的方向相同。下面的问题就是针对相速度pv与光速c的关系做一下比较。通常情况下，我们已经习惯于认定相速度是不能逾越光速c的。然而也有例外。事实上,如果某平面电磁波处在色散介质的反常色散区，那么相速大于光速c就新疆师范大学2012届本科毕业论文3有可能了，因此此时介质对于此平面电磁波的折射率可以小于1。真的存在这样的介质，这样的反常色散区使得介质对于某些波的折射率小于1吗？是的。下面我就大概提一下色散里面的一些内容。在色散介质中,折射率n会随着频率的不同而不同,记为)(nn，（2.1-4）式（2.1-4）中的和分别是介质的介电常数和磁导率。大多数情况下，)(n是一个递增函数，这种色散我们习惯称为正常色散。其实我们在高中就已经接触到了这种色散，比如光通过三菱镜发生色散产生美丽的七彩虹现象。然而对于某些色散介质，同样存在这样一个区域，我们称为反常色散区，在这个区域里，)(n随的增加而减小。并且可以发现在大于某一临界频率0后，折射率)(n开始小于1，甚至还出现n小于0的情况，因此相速度为：nckvp（2.1-5）就可以大于光速c了，甚至出现负速度。这似乎违背了狭义相对论，事实上并没有，因为狭义相对论要求的只是能量或者信号传播速度的上限为c，也即静质量为0的量子（比如光子）是以光速c在运行，而有静质量者则以小于c的速度运行，并没有对相速度的大小产生限制。狭义相对论也不可能限制相速度的大小，因为相速度根本不能从实验中具体测得，也就缺乏实际的物理意义，所以相速度与信号传播速度是截然不同的两个速度概念，因此相速度是无法承当信号传播速度角色的。至于刚才说的相速度是无法测量的，大家可以查看相关资料。不过我认为不存在单色平面电磁波也是其中非常重要的原因之一，因为单色平面电磁波仅仅只是理想化的模型而已（在下面一部分我将加以解释）。因此我们非常有必要引入波包了，那么下面的部分我将对波包加以介绍同时引入群速度这一概念。2.2.波包与群速度单色电磁波的传播是最简单的，也是最容易研究其波动性质的，但是同数学中傅里叶展开的基元一样，任何复杂的电磁波都是这些最为简单的（不同频率的）单色电磁波叠加而成的，叠加的结果就形成了波包。上面谈到单色波是理想化的波，是不可能严格实现的，这是因为即便是平常所说的单色光源发出的光波，也是由中心频率为0，频移为的许多单色波叠加而成的，我们只能称之为准单色波包，此时频移与中心频率满足10。设有两个电场幅值相同、方向相同，向+z方向传播的均匀平面波，角频率分新疆师范大学2012届本科毕业论文4，和00相位常数分别0kk和0kk，其中0zkktEEzkktEEmm)()(cos)()(cos002001)()(2)()(100kkitimkkitimeeEEeeEE合成波：)(2100)cos(2zktimezktEEEE)cos()cos(2)(00zktzktEtEm可见合成波的振幅是受调制的，成为包络波，如下（图一）的虚线所示。（图一）群速的定义：是振幅恒值点的移动速度，由kzt为常数.得：kdtdzvg（2.2-1）当时，式（2.2-1）变为：dkdvg（2.2-2）定义：包络波上某一恒定相位点传播的速度为群速dkdvkdtdzvgg时当0只有（），且k随变化很缓慢的情况下，群速才有意义。对于波包，因为频率的不同，所以波包的振幅和相位都会随时间呈现振荡的变化。为了说清这个问题以及引入群速度概念，下面以两个单色波叠加形成的波包为例进行简要分析，对于更一般的波包我们可以采取同样的步骤进行分析。新疆师范大学2012届本科毕业论文5为了简化问题，我们假定两个单色波的振幅相同，频率和波数都相差一小量，并且沿同一方向传播，不妨设为沿z轴传播。那么叠加的结果为：tdzdkkitkziaeaetzu)()(),(（2.2-3）上面等式（2.2-3）可以通过三角函数中的和差化积公式化为：)()(21cos2),(tzkiezdktdatzu（2.2-4）式（2.2-4）中的d21，dkkk21，分别表示平均频率与平均波数；然而从（2.2-4）式可以看出这个波包的振幅是随着时间和位置变化的，这个现象我们称为拍。由于余弦函数的周期为2，所以从（2.2-4）式可以知道对于振幅函数:)(21cos2),(1zdktdatzu（2.2-5）对于某一固定位置z，振幅函数出现极大值的间隔为：:4ddt（2.2-6）对于某一固定时刻t，振幅函数出现极大值的间隔为：:4dkdz（2.2-7）定义波包的群速度为等幅平面的传播速度为群速度，也即dkdddkdtdzvg44（2.2-8）同理可以知道，对于相位函数:),()(2tzkietzu对于某一固定位置z，相位函数出现极大值的间隔为：;2dt（2.2-9）对于某一固定时刻t，相位函数出现极大值的间隔为；;2kdz（2.2-10）对于波包，同样可以像定义单色波中相速度一样，我们定义等相位面的传播速度为相速度，也即新疆师范大学2012届本科毕业论文6;22kkdtdzvp（2.2-11）在上面的部分，我们已经导出了在波包中的相速度pv与群速度gv。而从相速度pv与群速度gv的定义知道，这两个量其实分别表示出了波包在传递过程中所形成的等相位面和等振幅面的变化快慢。而这两个量都是依赖于频率变化，我们将称之为有效频率范围，它是波包一个非常重要的参量。在色散介质中，折射率()nn，一般来说，对于正常色散（折射率()nn为频率的增函数），群速可以看成波包的整体行进速度，也即可以看成能量或信号在介质中的传播速度，因为能量是振幅的函数，而群速度恰恰是等振幅面（特别地，取极大等振幅面）向前的传播速度，因此大多数情况下，群速看成能量或信号的传播速度是没有问题的。然而，同相速度一样，如果遇到某些色散介质的反常色散