第三章 流变学基础方程的初步应用

第三章流变学基础方程的初步应用本章内容：3.1拖曳流流场分析3.2压力流流场分析在上一章介绍三大方程和本构方程的基础上，将它们应用于具体高分子加工流变学的实际问题，计算聚合物加工流变过程中的速度、温度分布以及如何确定流体的切应力、切变速率、表观粘度等物理量，无疑具有重要意义。由于聚合物是粘弹性流体，流变问题很复杂，一般的方法是对实际问题做必要的假设、简化模型，引入本构方程和边界条件，联立求解，得出应力、速度等物理量分布的方程，再进一步求别的物理量。5.1拖曳流定义：指对流体不加压力而靠边界运动产生力场，由粘性作用使流体随边界流动，称Couette库爱特流动。（一）两平行板间的拖曳流动1.简化假设A.两平行平板间的流动是稳定层流，所谓稳流，指物理量不随时间变化。所谓层流，指只有一个方向流动，而且流速慢，温度、线速度V等仅是y的一元函数，所有物理量对x、z、t的导数均为0，速度V只有vx非零，vy=vz=0B.两平行平板间距离远小于平板的长度宽度，无边壁效应，是一维流动C.下板静止不动，上板可以沿x方向以Vx作等速剪切运动，即vy=vz=0，vx随坐标y变化，与x无关。D.两平板间的流体与大气接触，流体中各点的静压一样，即P=常数E.两板的温度始终保持TwF.流体不可压缩G.高聚物流体接近牛顿型，应力中的法向应力。且仅沿x方向的一维流动，牛顿流体不可压缩平行平板间的流变方程。0xxyyzz0xy0zxxyxvyH.无体积力作用，忽略重力和惯性力的作用I.热传导，x方向剪切生热，y方向热传导，所以qy≠0，而qx=qz=0。在两平行平板间安排直角坐标系如图所示，假定两板间距H，板间充满流体。2.运动方程简化简化前沿x方向运动方程是：根据上面假设简化：A.无体积力作用，所以(51)xxxXxyzyxxxzxxvvvvPvvvtxyzxgxyz0xgB.假设P=常数，所以C.是不可压缩的牛顿流体，所以D.是一维层流，各物理量仅与y有关。这样，简化后：在垂直于y轴的平面上，指向x方向的切应力是一个常数，不随y变化。3.能量方程0px0xx0zxz0(52)yxy.vxyzyyxxzzyyxxzxxyyzzxyyxzzxzyzTTTTcvvvtxyzqvqvqvPTxyzTxyzvvvvvxyzyxvvvvzxzyA.因为是稳流，T不随x、z变化，且是层流，vy=vz=0，所以上式左边=0。B.根据假设仅沿y方向传导，qx=qz=0，压力是常数，仅沿x方向的一维流动，vx与x无关，不可压缩的牛顿流体，只有x方向剪切，这样简化后有：0(53)yxxyqvyy22(54)yxxyTqyvTyy4.流变状态方程假设为牛顿流体，5.边界条件y=0，v（x）=0；y=H，v（x）=Vxy=0，T（0）=Tw；y=H，T（H）=Tw6.求解对（5-2）积分：将（5-7）代入（5-5）积分：根据边界条件：y=0，v（x）=0；y=H，v（x）=Vx有c2=0，(55)xyxvy1(57)yxxyc1xvcy1xVcH12(58)xcvyc将（5-10）（5-5）代入（5-4）积分后有：根据边界条件y=0，T（0）=Tw；y=H，T（H）=Tw有(59)xxVvyH(510)xyxxyVH222xVTyH2234(511)2xVyTcycH2222(512)222()(1)(513)xxwwxVVyHTyTHHyyTTVHH4232wxcTVHcH右图给出的是根据（5-9）（5-13）给出的两平板间速度及温度分布可见，速度是线性分布，即速度分量vx沿y方向线性变化，在上板处流速是Vx，下板处流速为0。温度分布是抛物线，在流道中央y=H/2处温度最高，接近两板处流体温度与板的温度相等，流道中央温度升高的原因是：粘性流动耗散外部能量所致。在实际加工中，设定加工设备的机筒温度，一定要考虑机筒内物料的真实温度比设定温度高许多，以免引起物料烧焦。（二）圆环隙通道中的拖曳流动流体在两个同心圆筒间的环形空间被拖曳着沿轴向流动，内圆筒以速度V沿Z向运动，vz仅是r的函数。其它假设同前，简化后的动量方程：对于幂律流体利用边界条件r=Ri时，vz=V，r=R0时，vz=0对上式积分可得出熔体流动的速度分布：10rzrzrrrcrnzrzdvkdr011111qzqvrVkRqn3.2压力流定义：指物料在管中流动,是由于管道两端存在压力差,而边界固定不动，称Poiseuille泊肃叶流动。按照管道截面积分:圆形和矩形等.（一）圆形管道中的压力流动设管子半径为R,长度为L,物料沿z方向流动,静压为P,管外温度始终保持Tw,考虑由r、Θ、z各取微小增量dr、dz、dΘ所组成的微元体。1.简化假设A.设物料是不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型粘性流体，流动是稳定层流。B.设管径R管长L，流速只有z分量，即vz非零，而r、Θ方向vr=vΘ=0。Vz也只有沿r方向的速度梯度分量不为0，沿流动方向的速度梯度为0。C.管壁的温度始终保持Tw，流体与外界的热交换只通过管壁进行，即热矢量只有qr不为0，温度场不随时间变化。D.流体内压力P沿z方向有梯度，压力梯度为常数，重力忽略不计。E.流道壁面没有滑动，即当r=R时，vz=02.连续性方程简化前为：根据上述假设，流体不可压缩且为稳态流动，物料沿z方向流动，则rzrvvvtrrrz0zvz3.运动方程简化简化前沿x方向运动方程是：根据上面假设简化：A.vr=vΘ=0，稳流，左边等于0。无体积力作用，所以/11zzzzrzzrzzzzvvvvPvvrvtrzzrgrrrz0zgB.假设P=常数，所以C.从应力分布图可见，引起环流，假设是稳定层流，所以D.沿流向的速度不变，这样，简化后：4.能量方程0px0z0zzz./1111/1/()vrzrzrzrzrrrrzzrzrrzTTTTcvvrvtrzqvrqqrvvPTrrrzTrrrzvvrvvvrvrrzrrvvrz1zzvvrzz1(514)rzrPzrrA.因为是稳流，T不随时间变化，且是层流，vr=vΘ=0，所以上式左边=0。B.根据假设仅沿r方向传导，qΘ=qz=0，右边第一项只有。对于不可压缩流体，右边第二项=0，第三项大括号中只有这样简化后有：(516)rTqr()1rrqrr.0Vzrzvr()1(515)rzrzrqvrrr5.幂律流体本构方程6.边界条件r=R，v（z）=0；r=0，r=R，T（R）=Tw；r=0，7.幂律流体的速度、温度分布将（5-17）代入（5-14）有：积分有根据边界条件：r=R，v（z）=0；r=0，有c1=0，所以有()(517)nnzrzvkkrr21.(520)2nprrrczk0zvr0(518)Tr0zvr1(519)nPrkrzrr1()(521)2znvprrrzk积分后有根据边界条件，代回上式这就是速度分布方程。将（5-17）（5-16）代入（5-15）有将（5-21）代入上式，进行积分：根据边界条件有进行积分有：1121()()21nnnpncRzkn1121()()21nnnzpnvrczkn1111()()(1)(522)21nnnnnzpnrvRzknR1()()nzTrvrkrrr1121()()2()11()2nnnnnnTrprrkrrzkTrprkrrzk131311()()231nnnnTpnrkrcrzkn13111()()231nnnnTpnrkrrzkn1312411()()231nnnnpnTkrczkn根据边界，有代入上式，整理后有：这就是温度分布方程。8.无量纲化由（5-22）（5-23）可以得到管壁处r=R时物料流速为0，而温度为Tw，在管中心处的流速和温度分别是：可见，流速和温度均在管中心处取最大值，轴心处温度比管壁温度高。1312411()()231nnnnpncTwkRzkn31131211()()1(523)231nnnnnnpnrTTwkRzknR1312011()()(525)231nnnnpnTTwkRzkn111(0)()()(524)21nnnzpnvRzkn将（5-22）（5-23）（5-24）（5-25）分别相除即得无量纲公式右图给出不同流动指数幂律流体在圆管中的流速分布，当n〈1为假塑性体，高聚物流体的线速度随半径变化较小，各层流体的线速度差较小。1(1(526)(0)nnzzvrvR3101(527)nnTTwrTTwR9.牛顿流体的速度、温度分布令（5-22）（5-23）（5-24）（5-25）中n=1有：可见,牛顿流体的速度分布是二次抛物线,温度分布是按4次抛物线的规律变化.2(1(530)(0)zzvrvR401(531)TTwrTTwR424111()1(529)64prTTwRkzR221(1)(528)4zprvRzkR例.已知某塑料熔体，以每秒1cm的流速经横截面为圆形(R=2cm)的口模,且为层流状态.若熔体的n=1,在170℃时粘度为103Pa,略去入口效应.求(1)流道中心处的轴向压降(2)若流道壁温为170℃,导热系数=4.2*10-3w/m℃,求流道中心温度(3)离开流道中心多远,熔体温度正好是172℃.解(1)由方程(5-28)有,流道中心处的速度:(2)由方程(5-29)有,流道中心温度:(3)由方程(5-31)有:22350221(1)444100.0110/.0.02zprvRzkRpkvPasmzR424452033