第二章 连续时间信号与系统的时域分析

第二章连续时间信号与系统的时域分析2.3卷积积分卷积方法在本书中占有重要地位，这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和（积分），利用冲激响应，求解LTI系统对任意激励的零状态响应。一、卷积积分在前面介绍时,我们定义了这样一个强度为1的窄脉冲。其作用于系统的零状态响应为)(t)(tpnthn2nn2tpnt)t(hlim)t(h)t(plim)t(nnnnδ把其分解为一系列宽度为的窄脉冲，其第k个窄脉冲发生在时刻，强度为:-02kt)(tf)(tf)(kfn22nt)(tpnn2k)(kfknfkthkfty)()()(-02kttfkftfknktpkftf)()()()()(thtpnn应为作用于系统的零状态响0当时dtfktpkftfkn)()(lim)(0dthfkthkftyknf)()(lim)(0knktpkftf)()()(knfkthkfty)()()(一般而言，若两个函数，积分称为的卷积积分。用表示。即)t(f)t(f、dtfftf)()()(21)()(21tftf与)t(f)t(f)t(fdtfftftftf)()()()()(2121thtf*)(*ttfdtfktpkftfkn)()(lim)(0dthfkthkftyknf)()(lim)(0这是求解零状态响应的另一种方法.dtfftftftf)()()()()(2121二、卷积的图示第一步，画出与波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到和的波形。第二步，将波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到波形。第三步，给定一个t值，将波形沿τ轴平移|t|。在t0时，波形往左移；在t0时，波形往右移。这样就得到了的波形。)t(f1)t(f2)(f1)(f2)(f2)(f2)(f2)t(f2第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。例1给定信号)()()3()()(21tetftttft求y(t)=f1(t)*f2(t)。01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)01234f1()1o1f1()1f2()t－0t310t3f2()t－(c)t＜0(d)0＜t＜3τ10t3t03y(t)y(3)(e)t＞3(f)f2()－(a)(b)f1()f1()f2()t－)(1tf例2求下图所示函数和的卷积积分。)(2tftf12202ttf24320t解（1）1f22022f4302-1f2202tf2430t2-tdtfftf21（2）讨论的取值范围，并计算积分：t（3）当时，2t0tf当时，02t2223243tdtfttf2430t2-t当时，20t1f2202tf243t02-t当时，42ttdtft42232243当时，4t0tftf243t2-t032243´dtftt4,042),4(2320,302-),2(232,0)()()(21ttttttttftftf。）；（）求卷积积分（，，：设例)()(2)()(1).2(2)()(2)()(3)(23.231213221tftftftfttfttftetft解法一：图示法（1）1f03tf202t0021tftft时，当tttteededetftft2020202211336230时，当tetftft22113例3求卷积（2）1f032ttf3020221tftft时，当22202202202211336232tttteededetftft时，当2132221tetftft0)t()t(31ff22202202202211336232tttteededetftft时，当22202202202211336232tttteededetftft时，当)t()t(31ff)t()t(31ff所以tde026显然上式适用于的区间。0ttetftft22113*dtetftf)(2)(3)()((1)221解法二)1(32te2026tdedtetftf)2(2)(3)()()2(2312213te显然上式适用于的区间。2t213*2231tetftft21练习：画出下列图形的卷积积分tf21210ttf1201-2t22练习题答案：tftf212101-t思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？从非零区间长度及形状考虑。tf21210ttf1201-2t本节小结•1、卷积积分的解析法•2、卷积积分的图解法