五年高考真题(数学理) 7.5 推理与证明

世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司第五节推理与证明考点一合情推理与演绎推理1．(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙．一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B.答案B2．(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.答案C3．(2011·江西，7)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2011＝502×4＋3，因此52011的末四位数字是8125.答案D4．(2015·山东，11)观察下列各式：世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司C01＝40；C03＋C13＝41;C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________．解析观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1.答案4n－15．(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．解析(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.答案56．(2013·陕西，14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司照此规律，第n个等式可为________．解析左边共n项，每项的符号为(－1)n＋1，通项为(－1)n＋1·n2.等式右边的值符号为(－1)n＋1，各式为(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)＝(－1)n＋1n（n＋1）2，∴第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·n（n＋1）2.答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·n（n＋1）27．(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，…………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.解析由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n项的系数为首项是12，公差是－12的等差数列，因此N(n，k)＝12＋（k－3）12n2＋12＋（k－3）－12n＝k－22n2＋4－k2n.故N(10，24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1000.答案10008．(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案F＋V－E＝29．(2013·福建，15)当x∈R，|x|1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝11－x.两边同时积分得：1201dx＋120xdx＋120x2dx＋…＋120xndx＋…＝12011－xdx，从而得到如下等式：1×12＋12×122＋13×123＋…＋1n＋1×12n＋1＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1Cnn×12n＋1＝________.解析由C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n，两边同时积分得：C0n1201dx＋C1n120xdx＋C2n120x2dx＋…＋Cnn120xndx＝120(1＋x)ndx，12C0n＋12C1n122＋13C2n123＋…＋1n＋1Cnn12n＋1＝1n＋1（1＋x）n＋1120世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司＝1n＋11＋12n＋1－1n＋1＝1n＋132n＋1－1.答案1n＋132n＋1－110．(2012·陕西，11)观察下列不等式1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……照此规律，第五个不等式为___________________________________________．解析先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162116.答案1＋122＋132＋142＋152＋16211611．(2012·湖北，13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．解析(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n＋1位回文数有9×10n个．答案(1)90(2)9×10n世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司12．(2011·山东，15)设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.解析由f(x)＝xx＋2(x0)得，f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4＝x（22－1）x＋22，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8＝x（23－1）x＋23，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16＝x（24－1）x＋24，……∴当n≥2且n∈N*时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝x（2n－1）x＋2n.答案x（2n－1）x＋2n13．(2013·重庆，22)对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝mkm∈In，k∈In.世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．解(1)当k＝4时，mk|m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3∉A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．再证P14符合要求，当k＝1时，mk|m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.当k＝4时，集mk|m∈I14中除整数外剩下的数组成集12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝12，52，92，112，B2＝32，72，132.当k＝9时，集mk|m∈I14中除正整数外剩下的数组成集13，23，43，53…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝13，43，53，103，133，B3＝23，73，83，113，143.最后，集C＝mk|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的．考点二直接证明与间接证明世纪金榜圆您梦想更多精品资源请登录页（共17页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司1．(2014·山东，4)用反证法证