2014年六年级数学思维训练：数论综合三讲解

第1页（共28页）2014年六年级数学思维训练：数论综合三一、兴趣篇1．（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数．2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？10．对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？二、解答题（共12小题，满分0分）11．（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04．12．已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）13．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．14．三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所有满足要求的情况．15．1×4×7×lO×…×2008的末尾有多少个连续的零？16．一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？17．任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”．18．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．19．M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问：第2页（共28页）（1）如果M和N的最大公约数是7，求M；（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．20．用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？21．请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？三、解答题（共8小题，满分0分）23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n．24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”．第3页（共28页）2014年六年级数学思维训练：数论综合三参考答案与试题解析一、兴趣篇1．（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数．【分析】（1）估算出40000和41000之间的平方数即可．（2）估算略大于800、8000以及80000的数，看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可．【解答】解：（1）2002=40000，2012=40401，2022=40804，可见只有401和804可以．（2）估算略大于800，没有；估算略大于8000，没有；估算略大于80000的数可得：2842=80656，因此，最小数是656．2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）【分析】对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．【解答】解：对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．将n=1，2，3代入知：1+3=4=221×2×3+3=9=32故n=1，或n=3．答：自然数n的值为1或3．3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．【分析】设两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333，而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11，然后进行讨论解决．【解答】解：两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11也就是说A和B的和可能是3333，差可能是1，或者和是1111，差是3，诸如此类，共有4种情况但因为完全平方数A×A和B×B是四位数，A和B最多是两位数，所以只能有A和B的和是101，差是33，那么A=（101﹣33）÷2=34，原来的四位数为34×34=1156．4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字，再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可．第4页（共28页）【解答】解：从1、3、5、7、9中选出3个，显然无9，因为若有9，要求其他两位数字之和为9的倍数，这是做不到的．从1、3、5、7选出三个数共4种情况，而有5时必须在末尾①1、3、5：135，315；②1、3、7：无（1+3+7=11不是3的倍数）；③1、5、7：175，715（不是7的倍数，舍去）；④3、5、7：735，375（不是7的倍数，舍去）；所以符合条件的三位数有：135、315、175、735．5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【分析】①设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除；②因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．而90A=2×32×5×A，A的取值范围是1至9这9个数字．利用穷举法即可推出符合条件的两位数．【解答】解：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除．因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．因为90A=2×32×5×A，根据A的取值，可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示：由上述列举可得，符合条件的两位数分别是：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，9010+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18=450+60+18=528答：所有满足条件的两位数之和是528．6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？【分析】设组成两个三位数为A和B，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：2×2×3×3×3=108，据此解答即可．【解答】解：设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：2×2×3×3×3=108，第5页（共28页）此时这两个三位数分别是432、756．答：这两个三位数应该分别是432、756．7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．【分析】设自然数为n，与99的乘积为99n，然后根据99的整除性质，可知99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．再根据各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．经过试算，可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解，六位数时，228888为最小的符合条件的数，进一步解决问题．【解答】解：设自然数为n，与99的乘积为99n，99=9×11，99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．再看怎么满足能被11整除，数字和为18，不能满足；数字和为36，18﹣18=0，满足，经试乘积最小为228888．所求自然数最小为：228888÷99=2312．答：满足要求的最小值2312．8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？【分析】由于这三个自然数其中每一个