周期1性

例1（2005天津卷理第16题）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____．简析：因为f(x)为奇函数，所以关于原点对称；又关于直线x=12对称，由上面命题3可知周期为2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(1)+f(0)+f(1)+f(0)+f(1)=3f(1)，又－f(1)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)，所以f(1)=0，故原式=0．例2（2006高考模拟题）已知定义在R上的函数y=f(x)不恒为零，且满足f(3+x)=f(3-x),f(4+x)=f(4-x)，则y=f(x)（）（A）是奇函数，也是周期函数．（B）是偶函数，也是周期函数．（C）是奇函数，但不是周期函数．（D）是偶函数，但不是周期函数．简析：由条件可知f(x)关于点（3，0）和（4，0）成中心对称，根据上面命题2可知其周期为2，则4也为周期，所以f(4+x)=f(4-x)，故f(x)=f(-x)为偶函数．所以选（B）．例3（2006黄冈密卷）定义在R上的函数y=f(x)具有下列性质：（1）f(-x)-f(x)=0;(2)f(x+1)f(x)=1;(3)y=f(x)在［0,1］上为增函数．则下列命题(a)y=f(x)为周期函数，且最小正周期为4；（b）y=f(x)的图像关于y轴对称且对称轴只有一条；(c)y=f(x)在［3,4］上为减函数，正确的命题个数为（）（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．简析：由f(x+1)f(x)=1得f(-x+1)f(-x)=1，已知f(-x)-f(x)=0，所以f(-x+1)f(x)=1，从而f(x+1)=f(-x+1)，得f(x)关于x=1对称，又由f(-x)-f(x)=0知f(x)关于y轴对称，根据上面命题1可知周期为2，应该有无数条对称轴，画出示意图可知在［3,4］上为减函数，故选（B）．例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_________例4.函数y=sin(2x+25)的图像的一条对称轴的方程是（）(A)x=－2(B)x=－4(C)x=8(D)x=45例5．求证:若fxxR为奇函数，则方程fx=0若有根一定为奇数个。练习：1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.52．知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、183．()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()lg.fxx63(),(),52afbf5(),2cf则（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab4．定义在R上的函数xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则741fff等于()A.-1B.0C.1D.45．用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=12对称，则t的值为()A．-2B．2C．-1D．16．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2010）的值为()A.-1B.0C.1D.27．．定义在R上的以3为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．28．设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于____对称。y=f(x)图象关于___对称。9．设y=f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于__________对称，y=f(x)关于__________对称。10．设函数y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，①若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；②若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；③若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；④y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为______。11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且xfy的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______________.12．函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________。13．设函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点.14．设f(x)=xx11，又记f1(x)=f(x),))(()(1xffxfkk,k=1,2,……则)(2010xf=15．已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10]中的根．16．设函数()fx在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0ff．（Ⅰ）试判断函数()yfx的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()fx=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．17．fx定义域为R，对于任意x都有11fxfx且44fxfx问fx是否是周期函数？如是则周期是多少？函数对称性与周期性关系高三数学同步辅导2010-01-0121:30:17阅读540评论0字号：大中小订阅函数对称性与周期性关系【典型例题】1.定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。推论，由显然[例1]已知，满足且，当时，比较与的大小。解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。当时，∴即当时，∴，即[例2]函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为。解：依条件，设，则，故[例3]若的图象关于直线对称，则。A.B.C.D.解：由得即∴[例4]设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为。A.18B.12C.9D.0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。[例5]设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增∴，故选C2.对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证（2）由图象关于对称，有①又由图象关于点对称，有，∴，，即以代有②由①和②③以代有又由③式得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。证：（1）（2）[例1]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。解：由（1）（2）知，对任则，，[例2]已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。解：设当时，，则当时，，则又为偶函数，知从而另法：当时，，当时，，[例3]函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根∵由周期性可知也为的根所以方程在区间中至少有[例4]若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且令，则（1）若，则与在上是减函数矛盾（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。[例5]已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。分析：条件（2）即，即关于点对称又由是偶函数，故是以为周期的周期函数解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以【模拟试题】一.选择题（每小题5分，共50分）1.函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2.函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知，且，则满足（）A.B.C.D.4.定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：（1）（2）（3）（4）其中正确的不等式序号是（）A.（1）（2）（4）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）5.偶函数在上单调递减，则与的大小关系为（）A.B.C.D.不能确定6.已知定义域为R的函数满足有，且，若，则（）A.2B.4C.D.7.已知定义在R上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.8.已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则（）A.0.5B.1C.1.5D.9.函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.10.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.二.填空题（每小题4分，共24分）11.定义在R上的函数满足，则。12.已知函数，则。13.设，，且，那么函数的最大值是。14.已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，它们的图象如下图，则不等式的解集为。15.已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是。16.设函数，给出下列命题：（1）时，为奇函数（2），时，方程只有一个实数根（3）的图象关于点对称（4）方程至多两个实数根上述四个命题中所有正确的命题序号为。三.解答题（共76分）17.已知集合，集合，其中，设全集，，求实数的取值范围。18.求函数的值域。（满分12分）19.已知两个函数，（1）若都有成立，求的取值范围；（2）若都有成立，求的取值范围。（满分12分）20.已知奇函数（1）确定的值，并证明在R上为增函数；（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）21.已知函数满足，其中，且。（1）对于函数，当时，，求实数的取值范围；（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分14分）【试题答案】一.1.A2.D3.B4.B5.C6.B7.C8.A9.B10.D二.11.712.13.014.15.16.①②③三.17.解：A：∴B：设，则∴，若，则，∴∵∴∴若，则在上∴∴∵∴∴综上所述：18.解：定义域：R设，则且∴（）∵函数在上∴当时，∴函数的值域为19.解：∵∴令得，3+0－0+↑极大值↓极小值↑111在上↓，在上↑（1）∵都有成立∴（2）∵都有成立∴，即∴20.解：（1）∵为R上的奇函数∴∴∴设∵在R上↑且，在上↑∴在R上↑