椭圆中面积背景下的综合问题

1椭圆中面积背景下的综合问题典型问题已知直线)0(1:kkxyl与椭圆ayx2243相交于BA、两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若1k，且12a，求此时AOB面积；（Ⅱ）若CBAC2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．解题过程（Ⅰ）设),(),,(2211yxByxA．1243122yxxy得08872xx，,78,782121xxxx,72472122221xxAB原点（0,0）到直线1xy的距离为22，所以，AOBS=.72621dAB（Ⅱ）048)43(4312222akxxkayxkxy，221221434,438kaxxkkxx，由2122112)1,(2)1,(2xxyxyxCBAC，代入上式得：222221438438kkxkkxxx，，33412||4||31243||12||23||||212221kkkkxxxOCSAOB当且仅当432k时取等号，此时38)43(6422,2222221kkxxx．ABCOxy2又64434221akaxx，因此，203864aa所以，AOB面积的最大值为3，此时椭圆的方程为20322yx.变式拓展一已知椭圆方程为：22143xy，过它的两个焦点1F，2F分别作直线1l与2l，1l交椭圆于AB、两点，2l交椭圆于CD、两点，且12ll．求四边形ACBD的面积S的取值范围。解题过程当1l与2l中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为6S，若1l与2l的斜率都存在，设1l的斜率为k，则2l的斜率为1k．直线1l的方程为(+1ykx），设11(,)Axy，22(,)Bxy，联立22(1)143ykxxy，2222(43)84120kxkxk（1）2122843kxxk，212241243kxxk，2212212(1)||1||43kABkxxk（2）用1k代替（2）中的k，得2212(1)||34kCDk，2222172(1)||||2(43)(34)kSABCDkk，令2(0,)kt，22272(1)6(122512)6(43)(34)122512ttttStttt，xyACBDO1F2F366288661249491225tt288[,6)49S，综上可知，四边形ACBD面积的288[,6]49S.变式拓展二（2015衢州4月质检）已知椭圆C：22143xy设12FF、分别为椭圆C的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C交于不同两点,MN，记1FMN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．解题过程设1122(,),(,)MxyNxy，2FMN的内切圆半径为r，则22211()8422FMNSMNFMFNrrr所以要使S取最大值，只需2FMNS最大212121212FMNSFFyyyy设直线l的方程为1xty将1xty代入22143xy可得22(34)690tyty(*)0恒成立，方程(*)恒有解，1212226,3434tyyyytt９1212122121434FMNtSyyyyt２（）记21(1)mtm1212121313FMNmSmmm在1,上递减当1max10)3FMNmtS即时，（，此时max9:116lxS变式拓展三（2009福建文改编）已知椭圆13422yx的左、顶4点分别为A、B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线BSAS,与直线310:xl分别交于NM、两点，当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为51？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由解题过程直线AS的斜率k显然存在，且0k，故可设直线AS的方程为(2)ykx，从而1016(,)33kM134222yxxky，得,0121616432222kxkxk设11(,),Sxy则,4312162-221kkx得2438621kkx，即)4312,4386(222kkkkS又(2,0)B，则直线BS为,243xky得kN1,310，故kkMN1316，,338,0MNk又，当且仅当43k时，MN取得最小值，此时BS的方程为0323xy，,58),534,56(BSS要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于41，所以T在平行于BS且与BS距离等于41的直线l上。设直线03:txyl，则由41232t，解得3221t或，3221t经检验，3221t不符合，舍去，所以椭圆上只存在一个T使之成立。课后巩固训练1、（2015温州一模理）已知椭圆C:的下顶点为B(0，－1)，B到焦点的距离为2.(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；5(Ⅱ)直线l过定点P(0，2)与椭圆C交于两点M，N，若BMN的面积为65，求直线l的方程.参考答案：解：（I）由椭圆的下顶点为(0,1)B知1b．由B到焦点的距离为2知2a．所以椭圆C的方程为1422yx．设),(yxQ，22)1(yxBQ22)1()1(4yy)11(316)31(32yy．∴当31y时，334maxBQ．（II）由题设可知l的斜率必存在．由于l过点(0,2)P，可设l方程为2kxy.与1422yx联立消去y得01216)41(22kxxk．其0)34(16)41(48)16(222kkk432k．（*）设),(),(2211yxNyxM，则,4112,4116221221kxxkkxx．BPxxSBMN2121564134622kk．解得12k或4192k均符合（*）式，∴1k或219k．所求l方程为02yx与04219yx.2、(2015浙江理)已知椭圆,1222BAyx、上两个不同的点21mxy关于直线对称，6求实数m的取值范围；求AOB面积的最大值（O为坐标原点）.参考答案：63m＜或63m＞当且仅当212t时，等号成立，故AOB△面积的最大值为22.3、（2015绍兴高三上期末）已知椭圆22221xyab（0ab），其右顶点为2,0，上、下顶点分别为1，2．直线2的斜率为12，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于，两点（，均在y轴右侧）．求椭圆的方程；设四边形12面积为S，求S的取值范围．参考答案：1422yx233738，4、(2015湖州高三上期末)已知椭圆:C22221xyab（0ab）的右焦点为，，)01(F上顶点为).10(，B过点B作直线与椭圆C交于另一个点A，若0BFAB，求ABF外接圆的方程；若过点)02(，M作直线与椭圆C相交于两点HG、，设P为椭圆C上的动点，且满足OPtOHOG(O为坐标原点)，当1t时，求OGH面积S的取值范围.参考答案：;1825616122yx220，ABOxy