2.2.1 向量加法运算及其几何意义

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义问题提出1.向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？3.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能进行四则运算，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究一：向量加法的几何运算法则思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ABCACBCAB思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ACBCABABC思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ABCACBCAB思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用三角形法则求其和向量？aｂCｂa＋bABa思考使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量相加吗？(首尾相连，首是首，尾是尾）AEDECDBCABABC0CABCABabcdAEBDC三角形法则的作用：多和为一；一分为多思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？MCEOF1F2图1MEOF图2F=F1+F2FCOAB思考6：人在河中游泳，人的游速为OA水流速度为OB，那么人在水中的实际速度OC与OA、OB之间的关系如何？思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.对于下列两个向量a与b，如何用平行四边形法则求其和向量？aｂBｂa＋bAaOC思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点分别如何？三角形法则：首尾顺次相接，连始终；平行四边形法则：共起点，连对角.思考1：零向量0与任一向量a可以相加吗？探究二：向量加法的代数运算性质规定：a＋0=0＋a=a，思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于什么？反之成立吗？思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的方向如何？a与b为相反向量a＋b=0思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小关系如何？ABCｂa＋baaｂa＋baｂa＋b|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？Bｂa＋baCｂAaObaACOAOCabbaabBCOBOC思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？a+b+ca＋bCcBｂAaO)()(cbacbaCBAcbabacbabcD由此可推广：多个向量加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行bcaddcbacadbdcba)]([)()()()(例子向量的结合律：应用举例：1、运用向量加法法则作和向量课本84页练习1、22、运用向量加法法则化简和向量例2化简：.)3(.)()2(.)1(FAAFFADFADFADFCDACFADFCDBCABFABCCDDFABDBBDDBCDBCDBCDBCBCCDDBACBCABABBC.)3(;)2(;)1(FABCCDDFABBCCDDBABBC点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾相接，然后相加．回顾归纳解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．变式训练2如图：在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．.________)4(________;)3(________;)2(______;)1(DABAACCDADABDOCDACADABACAOAD0课本84页练习3、4例1、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；（2）求船实际航行速度的大小与方向.ADABC3、向量加法的实际应用变式1、在水流速度为43km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．点拨：向量应用题首先要正确画出图，用向量表示实际量，然后进行向量运算，回扣实际问题，作出解答．解如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD∥BC，则即表示船航行的速度．因为||＝43，||＝12，ABACADABAC∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝4312＝33，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以||＝83，∠BAD＝120°.即船航行的速度为83km/h，方向与水流方向所成角为120°.AD回顾归纳速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．变式2、如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地，然后又从B地按南偏东55的方向飞行600km到达C地，求这架飞机的路程及位移．解设BCAB，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行600km..72，方向北偏东km0001，两两次飞行的位移和km4001程是从而飞而飞机飞行的程.723735所以方向北偏东37≈∠∴,530001600∠sin，△Rt.）km（0001600800.905535，∠55,35，km)（4001600800依题题意，.和指的是；两两次飞行的位2222，BACACBCBACABCBCABACABCBCABACBCABCBAB中在所以又则飞机飞行的路指的是练习1．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则=.BCBAAC解析.1322||2||||22BCABCACACAACBCBA1322、已知||＝3，||＝5，则||的取值范围是_______．ABBCAC解析.8≤||≤2∴.2=|||-|||≥||+|=||,8=||+||≤|+|=||ACBCABBCABACBCABBCABAC且[2,8]3．已知点G是△ABC的重心，则＝______.GCGBGA解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，.,,GCGBGAGAGDGDGCGB则小结作业1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型.2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和.3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的功能作用