1.3 .2 杨辉三角

选修2-31.3.2杨辉三角与二项式系数的性质1.3二项式定理第一章计数原理1、二项式定理内容2、组合数性质：复习nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)(mnnmnCC）（1112mnmnmnCCC）（练习：课本P36习题1.3第1题思考：1、课本P11探究与发现中求子集的个数，你还有其他方法吗？2、这是一个很漂亮的公式，你还能用其他方法得到它吗？.2210nnnnnnCCCC则、若,11ba则1,b1,2、若令a二项式定理中n∈N*，a,b具有任意性，它们可以是数，也可以是代数式..2210nnnnnnCCCC.0)1()1(3210nnnknknnnnCCCCCC.21531420nnnnnnnCCCCCC(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C1112113311464115101051(a+b)606C16C26C36C46C56C66C1615201561二项式系数的性质(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C(a+b)606C16C26C36C46C56C66C11121133114641151010511615201561杨辉三角：表中“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和rnC1rnC1rnC在欧洲，人们认为这个表是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal.1623—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。然而，类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，我们称它为杨辉三角。杨辉三角阅读课本P32～34，思考并回答下列问题：1、请说出书中所给的杨辉三角的性质，并给予证明；2、完成P35练习；3、杨辉三角中还有许多漂亮的性质，仔细观察看你还能发现几个？111211331146411510105116152015611、对称性2、增减性与最大值与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等先增后减，最中间的二项式系数最大总结：n为偶数，中间项为：n为奇数，中间项有2项为：121nT121nT最大2121nnnnCC12nT最大2nnCmnnmnCC111211331146411510105116152015613、各二项式系数和1314202nnnnnnCCCCCnnnnnnCCCC2210总结：例1：已知:展开式的系数之和比展开式的系数之和小240,求展开式中各项系数之和nxx31nba2nyx32例题注：二项式系数与系数的区别与联系例2：设(1－2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,求：（1）a1+a2+a3+a4+a5的值（2）a1+a3+a5的值（3）|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值例题赋值法例3：求（1+2x)7展开式中二项式系数最大的项；变式二：求（1-2x)7展开式中系数最大的项.变式一：求（1+2x)7展开式中系数最大的项；2、（2011新课标全国卷）的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为（）A-40B-20C20D401、（2013新课标全国卷）设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，((x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A5B6C7D8BD练习一：512xxxax1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是().2、在(a＋b)10展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项A第15项B第16项C第17项D第18项CA练习二：4、在(a-b)11展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项3、在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第8项D第11项C5、在(a－2b)10展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第8项D第9项B练习二：B3、设，则，.0177888)2(axaxaxax178aaa2468aaaa1、在的展开式中的系数是.)10()2)(1(xxx9x2、.810610410210CCCC55510－25530254、被4除所得余数为……（）99233310)A1)B2)C3)DA练习三：5、若n=4m(m是正整数)，求证：mnnnnnnnnCCCCCC)4(26420111211331146411510105116152015611、对称性2、增减性与最大值3、各二项式系数和与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等先增后减，最中间的二项式系数最大小结：二项式系数的性质1314202nnnnnnCCCCCnnnnnnCCCC2210作业:1、课本P37习题1.3A组第8题《世纪金榜》P24变式训练2、自主探究杨辉三角中的有趣规律3、《世纪金榜》完成至P24、P86111211331146411510105116152015611、对称性2、增减性与最大值3、各二项式系数和与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等先增后减，最中间的二项式系数最大复习：二项式系数的性质1314202nnnnnnCCCCCnnnnnnCCCC2210再探“杨辉三角”请同学们继续观察上述杨辉三角，结合上节课所学内容，看看杨辉三角还有哪些性质？第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……………第n-1行11……第n行11………………第7行1721353521711、杨辉三角中第1、3、7、15行，即2k-1行都是奇数，第2、4、8行，即2k行都是偶数（两端1除外）。1＋1＋1＋……＋1＝（第1条斜线前n个1）1＋3＋6＋……＋＝（第3条斜线）1＋2＋3＋……＋＝（第2条斜线）1＋4＋10＋……＋＝（第4条斜线）2、在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于)(,1121rnCCCCCrnrnrrrrrr3.n阶杨辉三角的第k+1条斜边上的数（从右上到左下）组成的数列是：121,,,...,(0,1,...,)kkkkkkkknnCCCCCkn1)k=0时,第一条斜线构成的数列是：1，1，1,1…；是一个常数列2)k=1时,第二条斜线上构成的数列是1，2，3，4，…；是等差数列3)k=2时,第三条斜线上构成的数列是1，3，6，10，…；是二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）即：221111nnnCCCn第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……………第n-1行11……第n行11………………第7行1721353521714、杨辉三角中第p(p是质数）行除去两端1外，行数P整除其余的所有数。P是质数(素数)第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……第8行182856705628815、从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。斜线上数求和拓展延伸1、“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？拓展延伸2、德国数学家莱布尼茨曾作出一个与杨辉三角类似的莱布尼茨三角。第零行第一行第二行第三行第四行第k行11212131613141121121415120130120151，，，杨辉三角中，除1以外的每一个数，都等于它肩上的两个数字和，在莱布尼茨三角中有什么类似的性质？拓展延伸结论：莱布尼茨三角中每一个数都等于它脚下的两个数的和。4774122343511141156162525166如图3.它满足①第n行首尾两数为n；②表中的递推关系类似于杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______？分析:设第n行的第2个数为an,则a2=2,an=an-1+n-1，∴an=2+2+3+…+(n-1)例:（1）巳知二项式.若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。nx)221(nx)221(例2：证明下列各式：nnnnnnnnnCCCC322421)1(1121.232)2(1321nnnnnnnnCCCC例3、设（1）若试用q和n表示；（2）若试用n表示.),1,(112qNnqqqann.2211nnnnnnaCaCaCAnA解题回顾◆二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用要注意：正用、逆用和变形用.),(321NnnannA◆◆要善于利用二项式系数的性质，求解或证明有关的组合关系式.例4、已知数列a0,a1,a2……满足a0a1，且ai-1+ai+1=2ai(i=1,2,3……)，试探究函数f(x)=的单调性nnnnnnnnnnxCaxxCaxxCaxCa222211100)1()1()1(小结：1.这节课我们一起探究了杨辉三角中的一些数字规律，着重于发现，不着重证明；2.学会用“观察—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，发现问题进而解决问题；3.杨辉三角还有很多有趣的规律，不仅可“横看”找规律，还可以“斜看”、“竖看”，或从奇偶性等多角度观察，请同学们利用课余时间查找有关资料去探索杨辉三角更多的奥秘！