初中数学几何辅助线练习题目

11.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．解：（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB.∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°.∴∠BC1C=∠C=30°.∴∠CC1A1=60°.（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB.∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC.∴∠1=∠2，114263ABABCBBC∴△A1BA∽△C1BC∴112ΔΔ2439ABACBCSS.∵1Δ3CBCS，∴1Δ43ABAS.（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1.2.在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出EBDC的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，12EBDC，求k的值．C1CBA1A图2A1C1ABC图1图3PP1EA1AC1CB21C1CBA1A图2A1C1ABC图1图2DECBA图1GFDECBA2解：(1)22EBDC.(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G,连接BF.∴四边形EBFC是平行四边形.∴CE∥BF且CE=BF.∴∠ABF=∠A=90°.∵BF=CE=kAB.∴BFkAB.∵BD=kAE，∴BDkAE.∴BFBDABAE.∴DBF∽EAB.∴DFkBE,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.∵12CFEBDCDC.∴3DFDFEBCF.∴k=3.3.（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD.∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE=AD（2）①②③都正确--------------4分（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60°∴△CPM是等边三角形--------------5分∴CP=CM，∠PMC=60°∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6分∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.即PB+PC+PD=BE.GFDECBAPPFDECADECABB=图1图2PPFDECADECABB21GMPFDECAB34.已知：2AD，4BD，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小.解：（1）过点A作AGBC于点G.∵∠ADB=60°，2AD，∴1DG，3AG，∴3GB，∴tan33AGABGBG，∴30ABGo，23AB，………………1分；∵△ABC是等边三角形，∴90DBCo，23BC，………………2分；由勾股定理得：222242327CDDBBC.……3分；（2）作60EADo，且使AEAD，连接ED、EB.…………4分；∴△AED是等边三角形，∴AEAD，60EADo，∵△ABC是等边三角形，∴ABAC，60BACo，∴EADDABBACDAB，即EABDAC，∴△EAB≌△DAC.………………5分；∴EB=DC.当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，∴246EB，∴CD的最大值为6，此时120ADBo.另解：作60DBFo，且使BFBD，连接DF、AF.参照上面解法给分.5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．(1)如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，△PMN周长的最小值为_______；(2)如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且cossinkmn，直接写出∠APB的度数．ADBCG第24题图DCBA第24题图EDCBAFABCD第24题图4解：（1）cos=32，△PMN周长的最小值为3；………………………2分（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF.∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，∠FCE=2∠ACB=180°.∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.∴DE=BD=BP=10，EF=CE+CF=2CP=2.∵△ADF中，AD=AF=2，∠DAF=120°，∴∠ADF=∠AFD=30°.∴DF=3AD=6.∴22210EFDFDE.∴∠DFE=90°.………………………………………………………4分∵2ABCDBEDFEDAFBDAFESSSSS多边形，∴231122(10)6263364222ABCS.∴3362ABCS.……………………………………………5分（3）∠APB=150°.…………………………………………………………7分说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7）由（2）知∠DBE=2，∠DAF=1802.∵BD=BE=n，AD=AF=m，∴∠DBM=，∠DAN=90.∴∠1=90，∠3=.∴DM=sinn，DN=cosm.∴DE=DF=EF.∴∠2=60°.∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.PBACDEF图6321NMPACDEFB图7