动量和动量矩2(11)

2011-03-22喻有理第4章动量矩质点系力学本周交第二次作业§4.2质点动量矩（AngularMomentum）及守恒一.质点的动量矩和动量矩定理1.质点的动量矩AngularMomentummvOrt时刻：动量为vm位矢为r定义：质点在t时刻的动量矩(对O点)为vmrLO其大小sinvrmLO例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的动量矩ALBL0CLmd1d2d3ABCv解方向右螺旋法则vmd1vmd1OzrmvA质点作圆周运动的动量矩大小为vrmLo2.质点的动量矩定理vmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFrtLMddLtMdd12d21LLtMtt积分形式微分形式二.力对定点的力矩和动量矩守恒定律1.力对定点的力矩TorqueFrMOsin0rFM方向:由右螺旋法则确定大小面积O.FroMAB力矩的冲量OABS2kFjFiFFzyxkzjyixrzyxOFFFzyxkjiFrMkFFyxjFFzxiFFzyyxzxzykMjMiMzyx在直角系中O.FroMABxyzjir43jtitF22已知求第二秒末的力矩kkkjiM44443044043o解2.质点动量矩守恒定律ConservationofAngularMomentum常矢量，则若LM0──质点动量矩守恒定律(2)通常对有心力：例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用tSmtrrm2sin212sinrmLv讨论mrv行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积F过O点,M0=0,动量矩守恒Fortsinrtrm1979年我国发射卫星，质量m=173kg，近地距离为r1=6817km,远地距离为r2=8762km。近地点和远地点的速度解有心力有0oM2211rmrmvv机械能守恒1212222121rMmGmrMmGmvv能否直接用万有引力提供向心力求速度？例求rO1r2r问题vm1vm2vmF原长为l0、劲度系数为k的弹簧，一端固定在一光滑水平面上的O点，另一端系一质量为M的小球。开始时，弹簧被拉长，并给予小球一与弹簧垂直的初速度v0，如图所示。(即夹角)。设kg6.19M1254km20lm5.0sm30v动量矩守恒有解)(00lMv2202121kλMv5220Mkvv59.48)(sin0001vvll当弹簧恢复其原长l0时，小球速度的大小和方向.求O0l0v0lv例Mk机械能守恒有)πsin(0alMv221vM比较tPFddPtFttΔd2100PF形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。(趣称头上长角尾部添矩)tLMddLtMttΔd2100LM动量矩定理动量定理FM力力矩或角力动量或角动量动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩P21tttFdL21tttMd小结MzmzMymyiiiciiic,,§4.3质点组力学基础一.质心的概念有相互作用的若干质点的集合叫质点组质点组的总质量NiimM1xyzmiom2m1ir1rcr定义质心（质量中心）nn2211cMrmrmrmr直角坐标系下:),,(ccczyxc),,(iiiizyxmMxcn21mmmiixmiMrc质量连续分布系统的质心方法是分割后积分MmzzMmymmyyMmxmmxxcccd,ddd,dddxyzoirim说明(1)质心位置只决定于质点组的质量和质量分布情况，与其它因素无关(2)质心与重心的区别NiiiNGgmr1limCgMiimrNi1NlimmrdiiigmrNiN1limMmrd已知质点m1和m2的位置如图，求它们的质心位置解212211mmxmxmxcxcm1m2x1x2ox例例已知一半圆环半径为R，质量为m解建坐标系如图yxomldddddRldπdRRmmsincosRyRx0cxmmyycd几何对称性求它的质心位置π2dπsinπ0RmmR),(yx质点系运动质心运动crcvcaF质心的速度MmMtrmtriiiiccvvddddMPiMP总动量质心的加速度和动力学规律taccddvcaMF一个质点的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力(2)质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度(1)质心的运动：——质心运动定理tPMdd1说明(3)0iifCaMccv0质心速度不变即动量守恒iiiiimrmcr二.质心运动定理解例求如图所示，由可以看作非弹性体的金属小环组成的均质链条，堆放在光滑的水平桌面上，它的一端从光滑的小孔中由静止自由下落，没有进入小孔的链条在桌面上保持静止。下落端的运动学方程（一）用牛二解yO选整个链条为研究对象，设链条线密度为ρ（二）用动量定理解（三）用质心运动定理解lyycdly22vvlytyccdd)dddd(1ddtytyltaccvvvcMa2ddvvtyyg0y0yfclayg0ddtacxcxvMmMxmxxc21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls例如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾解在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置终了时，系统质心位置)'()'(1122xxmxxMx2x1x'x1'x2O求人和船各移动的距离ccxx解得SSl三.质点系的动量守恒定律当0iiF0diimvCmiiv(1)常用动量守恒的分量表述(2)动量守恒定律适用于惯性系常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000即质点系动量守恒定律讨论例在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度22212122vvvvv由机械能守恒（势能无变化）2221222212212121vvvvvvmmm021vv两球速度总互相垂直解设碰撞后两球速度21,vv由动量守恒21vvvmmm两边平方v求碰撞后两球速度总互相垂直。四.质点系动能定理把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有:iiiiiiiimmA21222121vviiiiiiAAA内外1m1v2m2v3m3v4m4v(1)内力和为零,内力功的和是否为零？不一定为零BAABff0fLfAAB1SfABA2)(SLfAABABABfBAfABSL讨论0(2)内力的功也能改变系统的动能例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。(3)一对力的功jjiiijrfrfAddd)dd(jiijrrfijijjiijrfrrfAd)(ddoimirijfjifirdjrdjmijrjrjiijffijijrrr一对正压力的功21AAAdddmMmrNd0一对滑动摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd0总功一定减少体系的动能MmmNrfmMrd中学熟知的例子五.质点系动量矩定理质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和1.质点系对参考点O的动量矩iiiiiOOmrLLivO1m1v2m2v3m3v4m4vir1r2.质点系受力对参考点O的力矩jifimirijfjmijrojrjijijiijfrfrMjiijffijijrrr)(iniexiiiiiffrfrMM质点系的内力不产生力矩0)(ijijijjifrfrr0exiniiexiiMfrfr3.质点系的动量矩定理iiLtMdd1m1v2m2v3m3v4m4viiiiLtMddLtMdd外OzzLtMdd分量形式4.动量矩守恒定律LtMdd0MCL（分量形式）角动量守恒定律0zMCLzzzLtMdd