挑战中考数学压轴题(第八版精选)(2015版)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12014年武汉市中考第24题例22013年上海市中考第24题例32012年苏州市中考第29题例42012年黄冈市中考第25题例52010年义乌市中考第24题例62009年临沂市中考第26题1.2因动点产生的等腰三角形问题例12014年长沙市中考第第26题例22013年上海市虹口区中考模拟第25题例32012年扬州市中考第27题例42012年临沂市中考第26题例52011年湖州市中考第24题例62011年盐城市中考第28题例72010年南通市中考第27题1.3因动点产生的直角三角形问题例12014年苏州市中考第29题例22013年山西省中考第26题例32012年广州市中考第24题例42012年杭州市中考第22题例52011年浙江省中考第23题例62010年北京市中考第24题例72009年嘉兴市中考第24题1.4因动点产生的平行四边形问题例12014年陕西省中考第24题例22013年上海市松江区中考模拟第24题例32012年福州市中考第21题例42012年烟台市中考第26题例52011年上海市中考第24题例62011年江西省中考第24题例72010年山西省中考第26题1.5因动点产生的梯形问题例12014年上海市金山区中考模拟第24题例22012年上海市松江中考模拟第24题例32012年衢州市中考第24题例42011年义乌市中考第24题例52010年杭州市中考第24题1.6因动点产生的面积问题例12014年昆明市中考第23题例22013年苏州市中考第29题例32012年菏泽市中考第21题例42012年河南省中考第23题例52011年南通市中考第28题例62010年广州市中考第25题例72010年扬州市中考第28题1.7因动点产生的相切问题例12014年上海市徐汇区中考模拟第25题例22013年上海市杨浦区中考模拟第25题例32012年河北省中考第25题1.8因动点产生的线段和差问题例12014年广州市中考第24题例22013年天津市中考第25题例32012年滨州市中考第24题例42012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12014年上海市徐汇区中考模拟第25题例22013年宁波市中考第26题例32012年上海市徐汇区中考模拟第25题例42012年连云港市中考第26题2.2由面积公式产生的函数关系问题例12014年黄冈市中考第25题例22013年菏泽市中考第21题例32012年广东省中考第22题例42012年河北省中考第26题例52011年淮安市中考第28题例62011年山西省中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12014年福州市中考第22题例22013年南京市中考第26题例32013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12014年安徽省中考第23题例22013年上海市黄浦区中考模拟第24题例32013年江西省中考第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例12014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例12014年上海市中考第18题例22014年无锡市中考第18题4.3图形的旋转例12014年上海市黄浦区中考模拟第18题例22014年上海市长宁区中考模拟第17题4.4三角形例12014年泰州市中考第16题4.5四边形例12014年广州市中考第8题4.6圆例12014年温州市中考第16题例22014年徐州市中考第17题4.7函数图像的性质例12014年苏州市中考第18题例22014年烟台市中考第12题声明选自东师范大学出版社出版的《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BPBABQBC，那么510848tt．解得t＝1．②如果BPBCBQBA，那么588410tt．解得3241t．图3图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝45，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以ACCDQCPD，即68443ttt．解得78t．图5图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BPBCBQBA，3241t．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BPBABQBC，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径2222(3)(88)PQPDQDtt，半径等于FC＝4．所以22(3)(88)8tt．解得12873t，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．图7图8图9图10例22013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得33a．图2所以抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．所以3tan3BOM．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，233OM．所以∠ABO＝30°，3OAOM．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)．②如图4，当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)．图3图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5例32012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,4b)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bxbxbx＝2b．解得165x．所以点P的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BAQAQAOA，即2QABAOA时，△BQA∽△QOA．所以2()14bb．解得843b．所以符合题意的点Q为(1,23)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当BAQAQAOA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此BOQACOOA，即14bQAb．解得4QA．此时Q(1,4)．图4图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位