第10讲立体几何

第十讲:立体几何1第十讲:立体几何杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：[phone]）在中学数学中,立体几何承载着培养空间想象能力的重要功能,是高考中的六大模块之一,以考察立体几何的基础知识和基本问题为主,联赛中的立体几何问题主要出现在客观题中,以考察灵活利用各种知识解决问题及空间想象能力,自主招生中的立体几何问题,与两者比较,呈现知识的广泛性、问题的根本性和综合性.Ⅰ.知识拓展1.空间余弦定理:在三面角P-ABC中,∠BPC=α,∠CPA=β,∠APB=γ,二面角B-PA-C=θ,则cosθ=sinsincoscoscos;2.体积比定理:若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上,分别有点P1、P2,点Q1、Q2和点R1、R2,则222111RQPORQPOVV=222111OROQOPOROQOP;3.欧拉公式:设F、E和V分别表示多面体的面、棱和顶点数,则F+V=E+2.Ⅱ.归类分析1.正方体模型:[例1]:(2005年上海交通大学保送生考试试题)将3个12cm×12cm的正方形沿邻边中点剪开,分成两部分,如图Ⅰ:将这6部分接于一个边长为62的正六边形上,如图Ⅱ:若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,则这个多面图Ⅰ图Ⅱ体的体积等于.[解析]:[练习1]:1.①(2010年复旦大学保送生考试试题)设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为:1111111111则该多面体的体积为()(A)32(B)43(C)54(D)65②(2008年复旦大学保送生考试试题)棱长为1的正四面体ABCD中,点M和N分别是边AB和CD的中点,则线段MN的长度为()(A)21(B)2(C)31(D)2③(2009年复旦大学保送生考试试题)半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球,则小球半径r可能的最大值是()(A)323R(B)636R(C)311R(D)525R2.①(2007年华南理工大学保送生考试试题)已知A、B、C、D是某球面上不共面的四点,且AB=BC=AD=2,BD=AC=2,BC⊥2第十讲:立体几何AD,则此球的表面积等于.②(2005年辽宁高考试题改编)己知三棱锥P-ABC中,E、F分别P是AC、AB的中点,△ABC、△PEF都是正三角形,PF⊥AB.AEC给出下列命题:①EF∥平面PBC;②PA⊥平面PBC;③PB=PC;④点PF在平面ABC内的射影是△ABC的垂心.其中真命题的序号是B(写出所有真命题的序号).③(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设O-ABCD是正四棱锥,其中OA=3,BC=2.以O为球心,以1为半径作一个球,则这个球与正四棱锥相交部分的体积是.2.长方体模型:[例2]:(2009年清华大学自主招生数学试题)四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.(Ⅰ)求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形;(Ⅱ)设底面为BCD,另外三个面与面所形成的二面角为α、β、γ,求证:cosα+cosβ+cosγ=1.本题曾出现于:(1979年全国高考试题)设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=900,求证:△ABC是锐角三角形.[解析]:[练习2]:1.①(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)四面体A-BCD中,AB=CD=5,AC=BD=34,AD=BC=41,则四面体A-BCD的外接球半径为.②(2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知四面体A−BCD中,AB=CD=213,BC=AD=41,AC=BD=61,则该四面体的体积是.③(2012年安徽高考试题)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则________.(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于900而小于1800;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.2.①(2008年安徽高考试题)己知点A、B、C、D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD.若AB=6,AC=213,AD=8,则B,C两点间的球面距离是.②(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C,则三棱锥B-ADC的外接球的表面积是③(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知S－ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥,O为底面ABC内一点,若∠OSA=α,∠OSB=β,∠OSC=γ,那么tanαtanβtanγ的取值范围是.3.构造模型法:[例3]:(2010年同济大学保送生考试数学试题)四面体ABCD中,AB与CD为对棱,设AB=a,CD=b,且异面直线AB与CD间的距离为d,夹角为θ.(Ⅰ)若θ=2,且棱AB垂直于平面BCD,求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)当θ=2时,证明:四面体ABCD的体积为一定值;(Ⅲ)求四面体ABCD的体积本题曾出现于:(1987年全国高考试题)三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线段ED=h,求证:三棱锥P-ABC的体积V=61l2h.该题第(Ⅲ)问的结论是著名的斯坦纳体积公式.第十讲:立体几何3[练习3]:1.①(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平面α外一定点P到α的距离为h,α上的三个动点A、B、C到P的距离分别为a、b、c,并且∠PBA=900.则△ABC面积的最大值为(用a、b、c、h表示).②(2009年安徽高考试题)对于四面体ABCD,下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线是异面直线;④分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点;⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.③(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角.(A)3(B)4(C)5(D)62.①(2008年复旦大学保送生考试试题)若空间三条直线a,b,c两两成异面直线,则与a,b,c都相交的直线有()(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条(1997年全国高中数学联赛试题)如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有()(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条②(2010年同济大学保送生考试试题)已知平面α⊥β,点A∈α,点B∈β,AB与平面α、β所成角分别为4、6,点A、B在平面α、β的交线l上的垂足分别为A1、B1,则线段AB与A1B1的比值为.③(2010年“华约”自主招生试题)平面α∥平面β,直线mα,nβ,点A∈m,B∈N,AB与α面夹角为4,AB⊥n,AB与m夹角为3,求m与n的夹角.4.换序分析法:[例4]:(2006年南京大学保送生考试试题)已知四面体ABCD,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:(Ⅰ)点A在平面BCD上的射影H是△BCD的垂心;(Ⅱ)AD⊥BC.[解析]:[练习4]:1.①(2010年年江苏高考试题)四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.(Ⅰ)求证:PC⊥BC;(Ⅱ)求点A到平面PBC的距离.②(2011年年江苏高考试题)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=600,E、F分别是AP、AD的中点,求证:(Ⅰ)直线EF∥平面PCD;(Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.③(2012年年江苏高考试题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(Ⅰ)平面ADE⊥平面BCC1B1;(Ⅱ)直线A1F∥平面ADE.2.①(2004年同济大学保送生考试数学试题)设四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:直线PC⊥BD;(Ⅱ)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E.如果三棱锥E-BCD的体积取到最大值,求此时四棱锥P-ABCD的高.②(2007年武汉大学保送生考试试题)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、M分别为棱AB、BB1、A1D1的中点.(Ⅰ)求证:CM⊥平面DEF;(Ⅱ)求点M到平面DEF的距离.③(2007年武汉大学保送生考试试题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P分别为棱AA1、CD、B1C1的中点.(Ⅰ)求证:BE⊥PF;(Ⅱ)求四面体B-PEF的体积.5.解析向量法:[例5]:(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)直角梯形ABCD中,∠ABC=900,AB=AD=AP=1,BC=2,面ABP垂直于底面ABCD.4第十讲:立体几何(Ⅰ)求证:面PAB垂直于面PBC;(Ⅱ)若∠PAB=1200,求二面角B-PD-C的正切值.[解析]:[练习5]:1.①(2003年同济大学保送生考试试题)已知棱A长为a的正四面体ABCD,如图建立直角坐标系,BO为A在底面上的投影,M、N分别为线段AB、ADODy的中点,则M点坐标是,CN与DM所成角C是.x②(2001年复旦大学保送生考试试题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与截面BB1D1D所成的角为.③(2007年复旦大学保送生考试试题)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=3,PD⊥平面ABCD,线段PD=AD,点E是AB的中点,点F是PD的中点,则二面角P-AE-F的平面角的余弦值为()(A)21(B)552(C)7145(D)71432.①(2010年武汉大学保送生考试试题)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M在棱CC1上,C1M=1.(Ⅰ)求B到平面AMB1的距离;(Ⅱ)求BC和平面AMB1所成角的正切值.②(2007年武汉大学保送生考试试题)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为4,侧棱长CC1为3,又E为CC1上一点,且CE=1.(Ⅰ)求B1D和平面BDE所成角的正弦值;(Ⅱ)求四面体A-BED1的体积.③(2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)如图,E已知四棱锥E-ABCD的底面ABCD为菱形,且∠ABC=600,AB=EC=2,AE=BE=2.AB(Ⅰ)求证:平面EAB⊥平面ABCD;DC(Ⅱ)求二面角A-EC-D的余弦值.6.解析分析法:[例6]:(2008年复旦大学保送生考试试题)在如图A1C1所示的三棱柱中,点A、BB1的中点M以及B1C1的中点NN所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分,B1则小部分的体积与大部分的体积之比为()(A)31(B)74AMC(C)1711(D)2313B[解析]:[练习6]:1.①(2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在正四面体ABCD中,AO⊥平面BCD,垂足为O.设M是线段AO上一点,且满足∠BMC=2,则MOAM=__________.②(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在长方体ABCD-EFGH中,设P是矩形EFGH的中心,线段AP交平面BDE于点Q,AB=3,AD=2,AE=1,则PQ=.第十讲:立体几何5③(1996年第7届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在三棱锥P–ABC中,∠APC=∠CPB=∠BPA=2,并且PA=PB=3,PC=4,又M是底面ABC内一点,则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是.2.①(2011年重庆高考试题)高为42的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()(A)42(B)22(C)1(D)2②(2010年全国Ⅱ高考试题)与正方体