第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第9节第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布详解

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测主干回顾·夯实基础主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测一、离散型随机变量的均值与方差一般地，离散型随机变量X的分布列为1.均值称E(X)＝__________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_________．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．方差3．两点分布与二项分布的均值和方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝___，D(X)＝________．(2)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝___，D(X)＝_________．称D(X)＝__________________________________________________________为随机变量X的方差，它反映了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX称为随机变量的标准差．[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xi－E(X)]2pi＋…＋[xn－E(X)]2pnp(1－p)npnp(1－p)p主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测4．均值与方差的性质若X为随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也为随机变量，且(1)E(aX＋b)＝________；(2)D(aX＋b)＝_______．二、正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝_______________________________，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)aE(X)＋ba2D(X)主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．正态分布的定义3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴_____，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线______对称；如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．上方x＝μ(3)曲线在_______处达到峰值______；x＝μ1σ2π主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“______”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“______”，表示总体的分布越______．4．正态分布的三个常用概率值(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_______；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_______.1瘦高矮胖分散0.68260.95440.9974主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．()(4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.()主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测[答案及提示](1)√(2)√(3)×均值与方差不是一回事．(4)√主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．已知随机变量X的分布列如下表，则D(X)＝()A.0.4B．1.2C．1.6D．2解析：选C由0.2＋0.2＋y＝1得y＝0.6，∴E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋3×0.6＝2，∴D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.2＋(3－2)2×0.6＝1.6，故选C.X013P0.20.2y主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测3．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E(ξ)的值为()A.43B.119C．1D.89解析：选A由题意知，ξ～B2，23，所以E(ξ)＝2×23＝43.故选A.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测4．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.解析：25设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，所以D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测5．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤1)＝P(X＞3)，则E(2X－1)＝________.解析：3由P(X≤1)＝P(X＞3)得μ＝1＋32＝2，所以E(X)＝2，故E(2X－1)＝2E(X)－1＝3.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测考点技法·全面突破主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测1．(2015·保定模拟)随机变量ξ的分布列为离散型随机变量的均值、方差(☆☆☆☆☆)ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝________.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解析：59由a，b，c成等差数列及分布列性质得a＋b＋c＝1.2b＝a＋c，－a＋c＝13解得b＝13，a＝16，c＝12.∴D(ξ)＝16×－1－132＋13×0－132＋12×1－132＝59.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测2．(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测3．(2013·浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：(1)由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136，主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为ξ23456PΗ123P141351819136aa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测所以E(η)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，D(η)＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59，整理得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值时的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测[典例1](2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．离散型随机变量均值与方差的应用(☆☆☆☆)主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123主干回顾·夯实基础考点技法·全面突破学科素能·增分宝典第十章概率（文）课时跟踪检测解：(1)依题意，p1＝P(40＜X＜80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X＞120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝