异速律：一个普适法则

异速律：一个普适法则Ontheuniversityofallometriclaw计算士2010/4/9异速增长（allometricgrowth），指的是在一个不断发展的复杂系统中，有两个变量x与y构成幂律关系~yx。异速增长的另一种形式是并存的多个类似复杂系统中，同样有两个变量x与y构成幂律关系~yx（allometricscaling）。我们看到，这两种形式实际上是一致的，可以用Allometry或allometriclaw来统一地表达。当我们在多个时间点对一个复杂系统进行采样时，就是在谈论growth，而在多个空间点对多个具有类似结构的复杂系统，或者一个复杂系统的多个子部分进行采样时，就是在谈论scaling。异速增长律的普遍成立，因为系统结构保持了稳定的自相似，不受时间（allometricgrowth）和空间（allometricscaling）的影响。这种对异速增长的理解，使得异速增长律得以与一个更基本的法则密切联系。这个框架就是标度律（scalinglaw）。标度律，一般指的是在一个复杂系统中，某个变量展现幂律分布p(x)~xβ。这种分布，可以基于多个时间点对一个复杂系统进行采样，也可以就一个复杂系统的多个子部分进行采样得到。因此，可以简单地说，标度律就是单变量的幂律分布，而这种幂律关系推广到双变量的幂律关系时，就展现异速律。异速律，作为一个普适的法则，已经在多个领域中被独立的发现，并被冠以不同的名称。在生物学里，被称为Kleiber’slaw；在地质学里，被称为Horton’slaw；在语言学里，被称为Heapslaw。在其他的更多的领域里，科学家们也已经发现了类似的pattern，但尚未明确地加以命名或者与已有的研究范式联系起来，往往统一称为allometriclaw，或者更一般性地，称为scalinglaw。本文作为一个文献综述，采集了来自各个领域的一些有代表性的实证数据中展现的allometriclaw的pattern，希望对研究现状做一描述，展现allometriclaw涉及的普适图景，并引发读者的思考。例如图1.2展示了生物体消耗的能量F与自身的体积M之间，存在幂律关系F=M3/4，而这个精确的定量关系跨越了1026的空间尺度和大约30亿年的进化时间（从单细胞到大象），消除了几乎所有的生命体之间的差异。相比之下，从一颗尘埃到银河系跨越的空间尺度是1024。图2.1显示，F=M3/4律反应的CO2消耗和体积之间的定量关系，可以精确地适用于海洋这个无生命物体。图1.8和图4.6显示，处于高度发达的文明中的人类和处于原始状态的动物，有着定量上一致的族群组织结构。因此，在异速增长律的观照下，生命与非生命之间的疆界被打破了，现代文明中的人类社会组织与自然原始状态下的生物群落组织之间的疆界被打破了，跨越Phisical，Biological，Sociological的秩序，开始涌现出来。现在，剩下一个最重要的问题：究竟是什么，导致了异速增长律的出现？1.生物学1.1动物的新陈代谢率和体积成幂律关系。Kleiber,M.(1947).Bodysizeandmetabolicrate.PhysiologicalReviews,27(4),511.1.2从老鼠到大象的的不同动物，新陈代谢率（左，以消耗的二氧化碳代表），心跳速率（右）与体积成幂律关系。West,G.B.,&Brown,J.H.(2005).Theoriginofallometricscalinglawsinbiologyfromgenomestoecosystems:towardsaquantitativeunifyingtheoryofbiologicalstructureandorganization.JournalofExperimentalBiology,208(9),1575.1.3不同温度下，物种多样程度与相应的地理范围成幂律关系。Wang,Z.,Brown,J.H.,Tang,Z.,&Fang,J.(2009).Temperaturedependence,spatialscale,andtreespeciesdiversityineasternAsiaandNorthAmerica.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,106(32),13388.1.4鱼鸟等动物、浮游植物和陆生植物，新陈代谢率与体积成幂律关系。Brown,J.H.,Gillooly,J.F.,Allen,A.P.,Savage,V.M.,&West,G.B.(2008).Towardametabolictheoryofecology.1.5食物网中，流经网络节点（一个节点代表一种生物）的能量与该节点在食物网内影响的能量流存量成幂律关系。Zhang,J.,&Guo,L.(2010).ScalingBehaviorsofWeightedFoodWebsasEnergyTransportationNetworks.ArxivpreprintarXiv:1003.4573.1.6植物的密度和躯干直径之间存在幂律关系Enquist,B.,West,G.,Charnov,E.,&Brown,J.(1999).Allometricscalingofproductionandlife-historyvariationinvascularplants.Nature,401,907–911.1.7植物的地下部分的质量和地上部分的质量（左），总质量和密度（右）之间存在幂律关系Enquist,B.J.,&Niklas,K.J.(2002).Globalallocationrulesforpatternsofbiomasspartitioninginseedplants.Science,295(5559),1517.1.8物种的个体数目和群数目之间存在幂律关系Enquist,B.J.,Haskell,J.P.,&Tiffney,B.H.(2002).Generalpatternsoftaxonomicandbiomasspartitioninginextantandfossilplantcommunities.Nature,419(6907),610–613.1.9生物体的成长的各个方面，新陈代谢率、发育时间、捕食移动范围、繁殖速度、生命长度、心跳速率等都与体积形成幂律关系。Brown,J.H.,Gupta,V.K.,Li,B.L.,Milne,B.T.,Restrepo,C.,&West,G.B.(2002).Thefractalnatureofnature:powerlaws,ecologicalcomplexityandbiodiversity.PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesB:BiologicalSciences,357(1421),619.2.地理学2.1海洋的二氧化碳消耗量与海洋的体积成3/4幂律关系。López-Urrutia,Á.,SanMartin,E.,Harris,R.P.,&Irigoien,X.(2006).Scalingthemetabolicbalanceoftheoceans.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,103(23),8739.2.2城市的专利数、工人工资、城市居民步行的平均速度（可看做paceoflifeincities）与城市的体积成正指数幂律关系，与之对照，哺乳动物的心跳频率（可看做biologicalpaceoflife）与城市体积成负指数幂律关系Bettencourt,L.,Lobo,J.,Helbing,D.,K\ühnert,C.,&West,G.B.(2007).Growth,innovation,scaling,andthepaceoflifeincities.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,104(17),7301.2.3城市的能量消耗（可看做生物体的新陈代谢率），城市间人口流动的节奏（可看做生物体的心跳/脉搏速率）与城市的人口（可看做生物体的体积）成幂律关系Isalgue,A.,Coch,H.,&Serra,R.(2007).Scalinglawsandthemoderncity.PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications,382(2),643–649.2.4若干城市的总人口，总收入与城市总数量存在幂律关系DeMontis,A.,Barthelemy,M.,Chessa,A.,&Vespignani,A.(2005).ThestructureofInter-Urbantraffic:Aweightednetworkanalysis.Arxivpreprintphysics/0507106.城市的人口与地理面积成幂律关系Nordbeck,S.(1971).Urbanallometricgrowth.GeografiskaAnnaler.SeriesB.HumanGeography,53(1),54–67.2.5人口数与人口活动范围（居住地总面积）成幂律关系Hamilton,M.J.,Milne,B.T.,Walker,R.S.,&Brown,J.H.(2007).Nonlinearscalingofspaceuseinhumanhunter–gatherers.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,104(11),4765.2.6城市人口的生育率与平均人口能量消耗（可看做生物体的新陈代谢率）成幂律关系Moses,M.E.,&Brown,J.H.(2003).Allometryofhumanfertilityandenergyuse.EcologyLetters,6(4),295–300.2.7欧洲各国的城市中的邮局、餐馆、加油站等数量（可看做维持“城市”这个生物体所需的资源和能量）与城市人口成幂律关系ChristianKuhnerta.A.,Helbinga,D.,&Westc,G.B.(2006).Scalinglawsinurbansupplynetworks.PhysicaA,363,96–103.3.语言学3.1某名著中的不重复字数，PNAS上不同的关键词数，NIHI被确认的人数，PNAS被引用的不同文章数，都与时间成幂律关系Lu,L.,Zhang,Z.K.,&Zhou,T.(2010).Zipf'sLawLeadstoHeaps'Law:AnalyzingTheirRelationinFinite-SizeSystems.ArxivpreprintarXiv:1002.3861.3.2某名著中不重复字数的增长与时间成幂律关系Kanter,I.,&Kessler,D.A.(1995).MarkovProcesses:LinguisticsandZipf'sLaw.PhysicalReviewLetters,74(22),4559.doi:10.1103/PhysRevLett.74.45594.社会学4.1人类移动过程中，移动的总路程与移动时间成幂律关系Han,X.P.,Hao,Q.,Wang,B.H.,&Zhou,T.(2009).OriginoftheScalingLawinHumanMobility:HierarchicalOrganizationofTrafficSystems.ArxivpreprintarXiv:0908.1221.4.2被甲流波及的国家数和被确认的总患者数呈幂律关系Han,X.P.,Wang,B.H.,Zhou,C.S.,Zhou,T.,&Zhu,J.F.(2009).ScalingintheGlobalSpreadingPatternsofPandemi