复变函数第16讲

15.2解析函数的孤立奇点1、孤立奇点的分类及性质2、施瓦兹引理3、皮卡定理2§1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1.)(,0,)(0000的孤立奇点为则称内解析的某个去心邻域但在处不解析在若zfzzzzzzfd-例如1()zfze1()1sinfzz1()1fzz-奇点0z孤立奇点奇点1z0,z奇点1(1,2,)znn3奇点未必是孤立的.1lim0,0,()nznfz但在不论多么小的去心邻域内总有的奇点存在，10.sin1/zz故不是的孤立奇点若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.2、孤立奇点的分类000()0,()0||.()0||zfzfzzzfzzzddd--若为的孤立奇点，则存在在内解析于是在内可以展开成洛朗级数00001()()().(1)nnnnnnnnnczzczzczz------注42.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即,||0,)()()1(000d--zzzzczfnnn.)!12()1(!5!31sin242---nzzzzznn0z是它的可去奇点.;)(0的可去奇点称为则zfz特点?211coszezzz--和的可去奇点是“可去”一词的解释?sinzz：0.z52.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即01z是它的级极点或者称为单极点.;)(0级极点的称为则mzfz特点?211()zz-的极点是),1,0()()()2(0---mczzczfmmnnn.!!211!110-nzzznzzzennnz:zez01.zz和62.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,0z是它的本性奇点..)(0的本性奇点称为则zfz特点?1sinz的本性奇点是.!1!211211---nznzzez1:ze0.z73、函数在孤立奇点的性质0()()ifzz在点的主要部分为零；若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：000()lim()();zziifzcc为常数0()().iiifzz在点的某去心邻域内有界性质1（可去奇点的判定定理）证：只须证显然()(),()(),()()iiiiiiiiiiii()():iii()():iiiii由极限定义即可()():iiii000()||fzzzzd-设在点的某去心邻域00()()nnnfzczz-80()Mfzz内以为界，在点的主要部分为122000,()()nnccczzzzzz------其中101122(),,,()nncfzcdznizz---00|-|,.Czzrrd这里为圆周由于1122||,nnnMcrMrr--0..nrc-由于为任意小的正数，故证毕90()()()()mhziifzzz-性质2（m级极点的特征）010001()()(,).()mmmifzzcccmzzzz-----在点的主要部分为000(()()).hzzhz在解析，若为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：0z证：()()iii去心邻域0()fzz若在的某去心邻域内有101000()()()mmccfzcczzzzzz-----10()():iii0()hzz将在的某一邻域内展成泰勒级数，得2000002''()()()'()()()!hzhzhzhzzzzz--则000100()()'()()()()()!mmmhzhzhzfzzzzzm---422)1)(1(2)(-zzzzf例如：为f(z)的一个4级极点，1zzi为f(z)的单极点.11注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论.例如利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极点，可去奇点，2级极点..1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfzzzzfzezfz---性质3若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是0lim().zzfz在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.0()zfzm若是的级零点，则性质501.()zmfz是的级极点)()()(0zzzzfm-分析),()()(:)(1)(1)(1000zzzzzhzzzzfmm--13001()()()()()zfzgzmzfzgnzmn若分别是和的级和级零点，则是的级零点；02()()/().mnzfzgznm-当时，是的级极点，设23)1(sin)1()(-zezzzzf例如，321()zze-04().zfz为的级极点0,()/().mnzfzgz若则是的可去奇点或解析点1()sinzz0z15性质6（极点的运算性质）140()lim().zzfzfz的洛朗级数有无穷多项负幂次项不存在，也不为性质7z0为f(z)的本性奇点注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的罗必塔法则.，则数，且两个不恒为零的解析函和若0)()()()(00zgzfzgzf.)()(')('lim)()(lim00或者两端都为zgzfzgzfzzzz由性质1和性质3，得1()()azfz若不是的本性奇点定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为)(zf1的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点)()(limbzaz00bba为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点)(limzaz0)(limzfaz矛盾！16.练习：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是极点，指出它的级数241111122311();();()sin;zzezzzez----答：10()3z是级极点；20z（）是可去奇点；31z（）本性奇点；43zk（）是级极点；5012,3,,,1zzkk（）级级点,是级极点；60z（）可去奇点。232114561cos()();();().sin()sinsinzzzezezzezzz---17性质8(Weierstrass)定理00()(){},nzfzAzz若是的本性奇点，则对任何常数有限或者无限，必存在一个收敛于的点列使得lim()nnfzA例如：1(),zfze()A对任意的非零也非1012,,,lnnznAni0z本性奇点0()nzn2ln()AninfzeA1nzn-0(),();nfzn1,(),().nnzfznn点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证.)(limAzfnazn.A否则,a必为f(z)的可去奇点.Azfz-)()(1.这样,由定理5.7,函数lim().nnzaz在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.(2)现在设定理5.9(毕卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|≤|z|,且有|f/(0)|≤1.5.2.4Schwarz引理如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.),|(|)(1zzezfi证设2121()(||).fzczczz120()()(),fzzcczzz100()'()cf10()maxmax|||||()||()|||fzzrzrzrzz01|()|.z001|'()||()|f0001()|()|||,fzzz让r1即得00z于是,且当时,有即00|()|||.fzz如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着在单位圆|z|1内某一点z0,模数|)(|z()()ize为常数().ifzez达到最大值,这只有时才可能.此即23本讲小结：;2方法、知道奇点类型的判定.3的性态、了解函数在z,1分类情况、熟悉奇点的概念以及非孤立奇点本性奇点，极点，可去奇点，孤立奇点奇点