复变函数论第5章第3节

规定此变换将:tfzf1)(映射为z,0t),(t，的孤立奇点是函数由于)(zfz为了研究，邻域的性质在zzf)(作变换,1zt则扩充z平面扩充t平面，映射为zR,10Rt映射为从而:在去心邻域zR内对函数)(zf的研究在去心邻域Rt10内对函数)(t的研究.Rt10因为)(t在去心邻域内是解析的,所以0t是)(t的孤立奇点，从而有5.5定义、解析点的可去奇点为若)()(0tt,阶极点或本质奇点m)(zfz是那么就称、解析点的可去奇点)(.阶极点或本质奇点m：注,)(解析在点所谓zf的为是指点)(zf，可去奇点且定义.)(lim)(zffz展成洛朗内将设在去心邻域)(1||0tRt：级数nnntct)(,10nnnnntctcctctc,1zt令，则有)()(tzfnnnnzczcczczc101,101nnnnzbzbbzbzb其中).,1,0(ncbnnz1||)(zRzf在无穷远点去心邻域从而得到内的洛朗展式为nnnnzbzbbzbzb101nnnzbzf)(nnnnntctcctctct10)(,0)(对应洛朗展式的主要部分相在与tt称2210zbzbzbnnn.)(洛朗展式的主要部分在为zzf),1,0(ncbnn，例如,0)(zzCzf和上只有奇点在设函数内的洛朗展式为在则||0)(zzfnnnnzbzbzbzazaazf22110)(,)(0分为两部分这样就把函数azf0z在，内的去心邻域||0z，前者是主要部分起主，导作用;)(所决定的奇异性质主要由前者zf但当，逐渐变大||z，时趋向.后者起主导作用nnnnzbzbbzbzbzf101)(1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项，且mz为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项,那末z是)(zf的1)可去奇点;2)m阶极点;3)本质奇点.判别法(利用洛朗级数的特点))(zfzR在内的洛朗级数中:如果：，也分成三类的孤立奇点作为因此)(,zfz进一步地有3.5定理为的孤立奇点函数zzf)(:中的任意一条成立的充要条件是下列三条)1(；的主要部分为零在zzf)()2(;)()(limbzfz)3(.}{)(内有界的某去心邻域在Nzzf可去奇点4.5定理为的孤立奇点函数zzf)(:中的任意一条成立的充要条件是下列三条)1(的主要部分为在zzf)(阶极点mnnnnzbzbbzbzbzf101)(;)0(221mmmbzbzbzb)2(内能表成的去某心邻域在}{)(Nzzf,)()(zzzfm;0)(,)(且的邻域内解析在其中zz)3(阶零点为以mzzfzg)(1)().0)((g只要令5.5定理为的孤立奇点函数zzf)(.)(limzfz要条件是极点的充nnnnzbzbbzbzbzf101)(6.5定理为的孤立奇点函数zzf)(:中的任意一条成立的充要条件是下列两条本质奇点)1(幂项不等的主要部分有无穷多正在zzf)(;于零)2(.)()(lim亦不为不存在zfz1例的各分支在无穷远点将多值解析函数bzazLn.级数的去心邻域内展成洛朗解：，的支点由于无穷远点不是bzazLn内的去心邻域故在点|||}||,max{|zba,能分出单值解析分支均能且各支在此去心邻域内.展成洛朗级数支的展式为第kzbzabzaz11lnlnzbza1ln1ln主值支ik2从而所求洛朗展式为bzazlnikzbza21ln1ln)1|(|)1ln(1znzznnnnnnzbnzanik11112112nnnnznabik).,2,1,0(k的正幂项不含z，由此可见值性孤立为各单值解析分支的单z奇点.可去奇点2例的去心邻域内将函数在点z2)(zzezf.展成洛朗级数解：,1tz令:可得2111ttetf.0是此函数的解析点从而t,)(t设此函数为即,1)(211tetft由于,)21(2)(2112tett,211te,)21(4)21(8)(21143tettt于是,)0(e,2)0(e,12)0(e所以,62122zzeezz由此得,)621()(2ttet，的可去奇点是这里)(zfz,)(ef若令.)(处解析在则zzftet211)(tett2112)21(2)(例3(1)函数1)(zzzf在圆环域z1内的洛朗展开式为:zzf111)(不含正幂项(2)函数zzzf1)(含有正幂项且z为最高正,1)1(1112nnzzz.)(的可去奇点是所以zfz幂项，.)(的一阶极点是所以zfz(3)函数zsin的展开式:)!12(!5!3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项所以z是)(zf的本质奇点.练习是0zzezzf1)(的奇点及其类型.说出函数是z,本质奇点.一阶极点例4函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的阶.解因所以这些点都是zsin的一阶零点,点，分母的零点为函数的奇的零点为而zsin,nz),2,1,0(nnznzcos)(sin,0)1(n,2,1,1外故这些点中除.)(的三阶极点都是zf),1)(1(12zzz因所以.)(11阶极点二的是与zf)(lim2zfz于是2z是)(zf的可去奇点；为一阶零点，与以11因为时，当2z3322)(sin)2)(1(limzzzz,33332)(sin)2)(1()(zzzzf时，当z使分母为零，nttn1,0因为的极点，为tfntn11时，当n，01ntn的孤立奇点，不是故tft10)(不能展成洛朗级数332)(sin)2)(1()(zzzzf,1zt设tf1,sin)21)(1(3532tttt)121(2的可去奇点为zft.)(的孤立奇点不是所以zfz的概念作如下推广，下面，将无穷远点邻域:以方便使用,上在扩充复平面C无穷远点的邻域就是.)(包括点任何一个圆周的外部，确切地说的为中心的就称为以zazazRN||:)(；包括点邻域)(为就称为以azazR||.的去心邻域中心的z例5求出下列函数的奇点,并确定它们的类别(对于极点,要指出它们的阶),对于无穷远点也要加以讨论.;sin)()1(3zzzzf.11)()2(zezf解)1(,0)(为奇点及以zzzf内展开成洛朗级数在将||0)(zzf方法一zzzzzzf)!51!31(1)(533，为可去奇点故0z.为本质奇点z,!51!312z方法二由30sinlimzzzz002031coslimzzz61.)(，的可去奇点为故)(0zfz又由不存在3sinlimzzzz,)lim(不存在zze.为本质奇点故z)2(.11)()2(zezf,01ze令:得零点,)12(ikzk),2,1,0(k又由ikzze)12(|)1(ikzze)12(|)(,0;sin)(3zzzzf所以，的一阶极点为)()12(zfikzk，时当k,kz.)(的非孤立奇点是故点zfz在适当圆环域内的洛朗求函数)1(1)(zzzf.展式解为奇点，上以在zzzCzf,1,0)(平面被分成因此z,||1)2(1||0)1(两个不相交解析区域与zz例6||1)2(1||0)1(zz、,0的去心邻域其中第一个是原点z第二个是点.的去心邻域z另外还有)3()4(与现分别在这四个最大去心邻域内将函数展开成洛朗级数)1(内，在1||0z)1(1)(zzzfzz11101nnzz,1|1|0z.|1|1zzz111)1(1)(zzzf;1nnz内，在||1z)2()(zfzzzzzf111)1(1)(0111nnzzz)3(内，在1|1|0zzzzf111)(11111zz;)1()1(110nnnzz内，在|1|1z)4(zzzf111)(11111zzzzz11111;111nnz11111111zzz0)1()1(1111nnnzzz.)1(1)1(1nnnz