复变函数论第三版钟玉泉PPT第五章

复变函数1第一节解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5.典型例题第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点复变函数21.双边幂级数),2,1,0(ncn定义称级数（1）为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数为双边幂级数，其中复常数nnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc)()()()()(02020100100负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001复变函数3nnnzzc)(00nnnzzc)(0110)(zz令nnnc1若1R011zzrR收敛域为的收敛半径为R,0zzR收敛域为时收敛,1():rR若两收敛域无公共部分,2():rR两收敛域有公共部分H:0.rzzR这时,级数(1)在圆环H:r|z-a|R收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z)复变函数4定理5.1设双边幂级数(1)的收敛圆环为H:r|z-a|R(r≥0,R≤+∞)则(1)级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H内解析.nnnazczf)()((3)函数在H内可逐项求导p次(p=1,2,…).(4)函数f(z)可沿H内曲线C逐项积分.复变函数5定理5.2(洛朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数)(()nnnczfaz其中110122(),(,,,),()nnfcdnia(2)2.解析函数的洛朗(Laurent)展式||(),(()).narRfzHc并且展式是唯为圆周即及圆环唯一地决系数一定了的定义5.1(2)式称为f(z)在点a处的罗朗展式，(3)称为其罗朗系数，而(2)右边的级数则称为罗朗级数。(3)注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。3.洛朗级数与泰勒级数的关系复变函数632z321z例1求函数分别在圆环及的洛朗级数。(1)在圆环内，,于是有洛朗级数131,|z2|z3/13//21132zzzzzzzzf　011032nnnnnnzz(2)在圆环上,,于是有洛朗级数z3131,|z2|z　0032nnnnnnzz123nnnnz　z32)3)(2(zzzzf解zzzzzzzf/311/21132复变函数7z02sinzzzf例2求函数在内的洛朗级数。z0zezf1例3求函数在内的洛朗级数。31z)3)(1(12zzzf例4求函数在内的洛朗级数。复变函数84.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0|z-a|R内解析，点a是f(z)的奇点，则称为f(z)的孤立奇点.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}：0|z-a|R内能展成洛朗级数。将函数展成洛朗级数的常用方法。1.直接展开法:利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(π2110nzficCnn然后写出.)()(0nnnzzczf2.间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.复变函数9例1内将函数在0z3()zefzz展开成洛朗级数.5.典型例题z02sinhzzzf例2求函数在内的洛朗级数。Rz0zzf1tan例3试问函数能否在内展成洛朗级数？复变函数10第二节解析函数的有限孤立奇点2.孤立奇点的性质3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇点的分类复变函数111.孤立奇点的分类.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)(如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则部分,而称1nnnazc)(为f(z)在点a的主要部分。定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点;(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,设为则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点；(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.),0()()(11)1(mmmmmcazcazcazc复变函数12定理5.3若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。)()(limbzfaz(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界。2.可去奇点的性质复变函数13Razazcazcczf02210　0limczfaz证(1)(2).由(1)有因此(2)(3).因,|)(|,||0:,0,0bzfazz有则bzfazlim的去心邻域内有界。在即有于是azfbzf)(,|||)(|,(3)(1).因主要部分的系数其中,可任意小，故daficnn121a:nnnnMMdafc2212111　,210，　　　ncn复变函数14Schwarz引理如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.),|(|)(1zzezfi1|)0(|f复变函数154.极点的性质);()(01mmmcazcazcmazzzf)()()(定理5.4如果f(z)以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表示成其中λ(z)在点a的邻域内解析,且λ(a)≠01(3)()()gzfz以点a为m阶零点。注意第(3)条表明：f(z)以点a为m阶极点的充要条件是以点a为m阶零点。)(1zf定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点)(limzfaz复变函数16.)(lim)()(lim不存在，即有限数广义zfbzfazaz定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点5.本性奇点的性质定理5.7若z=a为f(z)的本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为)(zf1的本性奇点.复变函数17奇点孤立奇点非孤立奇点支点可去奇点极点本性奇点（单值函数的）（多值函数的）复变函数18.)(limAzfnazn定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛与a的点列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).复变函数19第三节解析函数在无穷远点的性质定义5.4设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域N-{∞}：+∞|z|r≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换,于是)()'1()'(zfzfz在去心邻域:)10(1|'|0}0{rrrzK规定如：(5.12)zz1的孤立奇点。就为)(0zz内解析，则复变函数20(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点z与z/上,函数)'()(zzf(3)),'(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在.注：复变函数21定义5.5若z/=0为)'(z的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.设在去心邻域内将)'(z展成罗朗级数:nnnzcz')'(rzK/1||0:}0{复变函数22定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.z);()(limbzfzz复变函数23定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:);0(221mmmbzbzbzb(1)f(z)在z=∞的主要部分为),()(zzzfm(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(∞)=0).其中在z=∞的邻域N内解析,且)(z;0)(复变函数24定理5.5’(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂不等于零.)(limzfz)(limzfz广义不存在(即当z趋向于∞时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).(2)复变函数25第四节整函数与亚纯函数1.整函数2.亚纯函数复变函数26在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.).||0()(0zzczfnnn(5.14)设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且可设1.整函数复变函数27定理5.10若f(z)为一整函数,则(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式).0(10mmmczczcc(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).复变函数28定义5.6在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.2.亚纯函数定理5.11一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.定义5.7非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数