第四章-线性方程组的解的结构

线性代数——第4章§4线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的性质基础解系及其求法小结、思考题非齐次线性方程组解的性质说明.,,VRV则若2．维向量的集合是一个向量空间,记作.nnR;,,VVV则若向量空间的概念定义6设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．nVVVV1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指V.,33是一个向量空间维向量的全体R例1.33,333R维向量，它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个.间，也是一个向量空维向量的全体类似地，nRn例2判别下列集合是否为向量空间.RxxxxxVnTn,,,,,0221解.V是向量空间1的任意两个元素因为对于1VTnTnbbaa,,,0,,,,022,V1122,,,0VbabaTnn有.,,,012VaaTn例3判别下列集合是否为向量空间.RxxxxxVnTn,,,,,1222解.2,,2,2222VaaTn则.V不是向量空间2,,,,122VaaTn因为若;,,,)1(21线性无关r.,,,2)(21线性表示中任一向量都可由rV那末，向量组就称为向量的一个r,,,21V基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间．VrVr向量空间的基与维数定义8设是向量空间，如果个向量，且满足r,,21VVr,R,,xVrrr12211（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为r,,,21VV（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.VVV１．解向量的概念设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax01212111nnx,,x,x若为方程的0Ax解，则121111nx称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则21x,x0Ax21x0Ax也是的解.证明02121AAA0021A,A.Axx的解也是故021（2）若为的解，为实数，则也是的解．1x0Axk1kx0Ax证明.kkAkA0011由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．0Ax证毕.如果解系的基础称为齐次线性方程组,0,,,21Axt;0,,,)1(21的解的一组线性无关是Axt.,,,0)2(21出线性表的任一解都可由tAx１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0AxAxt,,0,,,21ttkkkx2211.,,,21是任意常数其中rnkkk２．线性方程组基础解系的求法00001001~,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．r于是可化为AAA00000100121,1,111nrnrrrnxxxbbbbnrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110Ax现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入.,100,010,001依次得rxx1,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001合起来便得基础解系rn.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,说明1．方程组的基础解系不唯一．.kkkxrnrn22112．若是的基础解系，则其通解为rn,,,210Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk定理1.,)(,0rnSrARSxAnnmnm的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组);0,(,,)(维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当nAR.,,,,,,,,,,,,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例1求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A.7475,7372432431xxxxxx便得,100143及令xx,7473757221及对应有xx,107473,01757221即得基础解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解例2).()(ARAART证明证.,维列向量为矩阵为设nxnmA;0)(,0)(,0xAAAxAAxxTT即则有满足若.0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知即则满足若,0)(0同解与综上可知方程组xAAAxT).()(ARAART因此.0,1)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设AxxbAxxx证明.021bbA.021Axx满足方程即bAbA21,１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明AAA,0bb.的解是方程所以bAxx证毕．.,0,2)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx.11rnrnkkx其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.rnrnkk11２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为例7求解方程组.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行变换对增广矩阵B2132111311101111B,00000212100211011~并有故方程组有解可见,,2)()(BRAR.212,2143421xxxxx,042xx取,2131xx则即得方程组的一个解.021021取中组在对应的齐次线性方程,2,43421xxxxx,100142及xx,210131及则xx程组的基础解系即得对应的齐次线性方,1201,001121于是所求通解为).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx３．与方程组有解等价的命题bAx;,,,21线性表示能由向量组向量nb;,,,,,,,2121等价与向量组向量组bnn.,,,,,,,2121的秩相等与矩阵矩阵bBAnn线性方程组有解bAx４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．１．齐次线性方程组基础解系的求法000010011111rn,rrrn,bbbb~A四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形Anrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于令.,,,xxxnrr10001000121（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．rARrn,bbr0011111,bbr0102122.bb,rn,rrn,rn1001故,bb,,bb,bbxxrn,rrn,rrr12121111得为齐次线性方程组的一个基础解系.有解0AxnAR个解向量此时基础解系中含有ARnnBRARnBRAR.有无穷多解bAxBRAR.无解bAx.有唯一解bAx２．线性方程组解的情况满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设321,,.1,3bAxARmA,32121,1103210113.的通解求bAx思考题,1)(,3ARmA矩阵是解思考题解答.2130无关的解向量个线性的基础解系中含有Ax则令,,,133221