第四章j解析函数零点的孤立性及唯一性定理

第四章解析函数的幂级数表示法第一节复级数的基本性质第二节幂级数第三节解析函数的泰勒(Taylor)展式第四节零点的孤立性与唯一性原理第一节复级数的基本性质１复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数命（部分和）。若则称复数项级数收敛于否则称级数发散。nnn211nns21ssnnlims1nnas定理4.1设，则复数级（4.1）收敛于),2,1(nibannn),(为实数baibas1nna1nnbab及实数及分别收敛于的充要条件为例求证级数21nqqqq为复数在1q时收敛于11q，而当1q时发散。证明：21111nnnqSqqqq1）用极限定义易证，当1q时，lim0nnq因而由极限的性质得到1lim1nnSq因此按定义4.1得011nnqq2）当1q时，显然有limnnq，因而1limlim1nnnnqSq故级数0nnq发散。3）当1q时，显然有1111nnSn项因此级数0nnq也发散。4）当1q，而1q时，设,iqe2kk是整数，则1111ninniqeSqe因为arginen，所以它对任何固定的都无极限由此可见，复数ine当n时无极限，亦即nS无极限，因此级数0nnq发散。例4.1考察级数的敛散性。)21(1nnin11nn121nn解因发散，收敛，我们仍断定原级数发散。故虽例讨论级数11nabnn的敛散性解：1nabcnn111aaabnnnnnnb而111nnkkkaakk1aana1nn收敛，级数11nnnncb与同时收敛或同时发散。当ab时，级数11nnnnc收敛。当ab时，由1111nnnbabn知，1nnc发散定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）级数nz收敛必要与充分条件是：任给,0可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,…时|...|21pnnnzzz定理4.3复级数（4.1）收敛的一个充分条件为级数1nn收敛定义4.2若级数收敛，1nna1nna则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理4.4例判断下列级数的敛散性11111;2123nnnnii分析：考查正项级数1nn的敛散性。解（1）123nni，则11limlim23nnnni由正项级数的比值判别法知道，原级数绝对收敛。1113（2）因111121nnii11lim0lim011nnnnii故原级数发散练习：证明级数11111nnin收敛，但不绝对收敛2.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数121()()()()4.2nnnfzfzfzfzE)(zfEz)(zf)(zf1)()(nnzfzf在点集上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为定义4.4对于级数（4.2），如果对任意给定的，存在正整数当时，对一切的均有0)(NNNnEz)()(zszfnE)(zf则称级数（4.2）在上一致收敛于(4.5)E0,()NNnN1()()nnPfzfz与定理4.2类似地我们有定理4.5级数在上一致收敛的充要条件是：，当使时，对任一及均有1nnzfzf,00,0N,0Nn,0Ez000nszf定义4.4‘在点集合E上不一致收敛于某个对任何整整数总有某个使定理4.5’1nnzf在点集E上不一致收敛0002010000zfzfzfpnnn某个,00对任何正整数N，整数,0Nn总有某个,0Ez及某个正整数0p，有定理（优级数准则）若存在正数列，使对一切，有),2,1(nMnEz),2,1()(nMzfnn1nnM1)(nnzfE而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。例求级数1111nnnnzzz的和函数1z分析：求部分和；分别就11zz及取极限解：1111knnkkkzSzzz1111111kknkkkzzzzzz所以22,11lim1,11nnzzzfzSzzz1211111nnzzzzzz例证明级数2111nnnznz时一致收敛1z1z当当时发散。证明：1）当1z时，由于22112nnznzn，而正项级数211nn收敛，故由优级数准则知所给级数在1z时绝对且一致收敛。2）当1z时，2211nznn，所以21nnzn绝对收敛。又由于22111lim1nnnnznz2211lim1nnnnzznz1故2111nnnz发散，从而所给级数在1z时发散。3）当1z时，11z，所以2111nnnz收敛。211nnzn发散。后者是因为122lim1nnnznzzn1从而所给级数在1z时发散。级数nzzz21)1(rrz0nnr在闭圆上一致收敛。因有收敛的优级数思考题：证明0nnz在1z内不一致收敛。定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线在E上一致收敛于f(z)，那么f(z)在E上连续。)(zfn定理4.7设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收敛于f(z)或)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf连续，并且级数。设在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)连续，并且级数，那么注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列,...)2,1)}(({nzfn在复平面C上的区域D内解析，如果级数)(zfn序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。)(z)(z定理4.8级数（4.2）在圆:KzaR内闭一致收敛的充要条件是：对任意正数:Kza，只要R级数（4.2）在闭圆上一致收敛。定理4.9设函数在区域内解析,级数()(1,2,)nfznD1()nnfzD()fz()fzDD()()1()()kknnfzfz(1,2,)k0zD0r0(,)UzrDUC4.71()()0nCCnfzdzfzdz在内中闭一致收敛于函数，则在内解析,，且在内成立证明：，取，使得。在内任作一条简单闭曲线，根据定理柯西定理推得因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析。()fzU0zD()fzDUrCD1()nnfzrC()fz110()()knfzzz在上一致收敛于rC10()()kfzzz10!()2()rkCkfzdzizz110()!2()rnkCnfzkdzizz()()001()()kknnfzfz(1,2,)k其次，设的边界,由已知条件得在上一致收敛于，从而,根据定理4.7，我们有即于是定理结论成立.例证明级数2321nnzzzzzzz在1z内闭一致收敛。证明当1zzzr时，11111nnnnzzzzrr而正项级数121nnrrr收敛，即原级数有收敛的优级数121nnrrr，故由优级数准则，原级数在较小同心闭圆1zrr上绝对且一致收敛。由定理4.8原级数在1z内内闭一致收敛。定义形如的级数称为幂级数,其中是复变量,是复常数.4.8()000100()()()4.7knnnnnfzazzaazazzz00z(4.7)010nnnnnazaazaz(4.8)特别地,当，级数就变为§2幂级数幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中也很重要。定理4.10:(阿贝尔第一定理)如果幂级数(4.3)在z1(z0)收敛,则它在圆K：|z-z0||z1-z0|内绝对收敛且内闭一致收敛.证明设z是所述圆K内的任意点，因为||||010zzzz因此存在着有限常数M,使得,2,1,001nMzznn这样一来，即有0010||nnzzzzMnnnnnnzzzzMzzzzzzzz010010010001nnzz收敛，它的各项必然有界注意有，故级数00nnkzz为收敛的等比级数，因而00nnzz在圆K内收敛其次，对K内任一闭圆0100zzZZK：上的一切点来说，有001010||||nnnnzzzzMMzzzz（）故K在上有收敛的优级数001||nnzzM）（因而它在K上绝对且一致收敛。再由定理4.8，此级数在圆K内绝对球内闭一致收敛。定理4.12:如果下列条件之一成立lR1||lim1nnnlnnnl||limnnnl||lim（1）(达朗贝尔法则)（2）(柯西法则)（3）(柯西-阿达马公式)则当0l+时,幂级数(4.3)的收敛半径为当l=0时,R=+;当l=+时,R=0.注意：由数学分析知识即知，对幂级数（4.3）有111limlimlimlimnnnnnnnnnnnncccccc（2）若1limnnncc存在，则limnnnc存在，且等于1limnnncc。又从limnnnc存在显然包含limnnnc存在，且等于limnnnc，反之则不然，即limnnnc存在，limnnnc未必存在。因此，由上极限limnnncl而得到收敛半径1Rl的结论最强例4.2试求下列各幂级数的收敛半径（1）12nnnz1)1(21limlimnnccRnnnn解解因0!nnnz0!1)!1(1limlim1nncclnnnnR0!nnnz（2）故解因0!nnzn!)!1(limlim1nncclnnnn0R故（3）0!nnzn解当ｎ是平方数时，9421zzz1nc0nc01或nncnnc1,1Rl（4）其他情形，因此相应有于是数列的聚点是0和1，从而幂级数(4.3)的和是在收敛圆盘内有定义的一个函数,称之为和函数.可以证明幂级数和函数的解析性.0