,特征值特征向量与矩阵可对角化(第十三次)详解

线性代数课程结构基础基础知识准备行列式矩阵向量正题线性方程组特征值、特征向量第4章矩阵的对角化与二次型的化简一、矩阵的特征值与特征向量二、相似矩阵与矩阵的对角化三、二次型的概念四、合同变换与二次型的标准形五、正交变换与二次型的标准形六、惯性定律与正定二次型矩阵特征值在实际问题中的应用•美国1940年建造了塔科马（Tacoma）海峡桥，一开始这座桥有小的振动，许多人好奇的在这座移动的桥上驾驶汽车。大约4个月后，振动变得更大。最后这座桥坠入水中。对于这座桥倒塌的解释是：由于风的频率太接近这座桥的固有频率引起的振动。而这座桥的固有频率是桥的建模系统的绝对值最小的特征值。这就是特征值对于工程师分析建筑物的结构时非常重要的原因。①方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量吗？定义1设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足AXlX，则称l为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值l的特征向量.|lE-A|0●矩阵lE-A称为A的特征矩阵；●l的n次多项式|lE-A|称为A的特征多项式；●方程|lE-A|0称为A的特征方程.(lE-A)XoAXlX注意：如果X是A的对应于特征值l的特征向量，则问题：②特征值l的特征向量有多少？③怎样求矩阵的特征值和特征向量？lX-AXo1特征值特征向量的概论与计算|lE-A|0(lE-A)XoAXlXlX-AXo特征向量特征值求解特征值、特征向量的步骤步1：由|lE-A|0，求得特征值l1,l2...ln.步2：对于特征值l1,通过齐次线性方程组(l1E-A)Xo，求得对应于特征值l1的特征向量.=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应Al数几何意义y=A=l//y=A1221A3yAxx11xyAxx-11x-特征值和特征向量：0,s.t.A=lAX=lX(lE–A)X=0|lE–A|=0特征方程=l–a11–a12…–a1n–a21l–a22…–a2n…………–an1–an2…l–ann特征多项式特征值特征向量Xo对每个l,求(lE–A)X=0的基础解系1,2,,t对应于l的所有特征向量为k11+k22++ktt,k1,,kt不全为0.先解|lE–A|=0,求出所有特征值l,方程|lE-A|0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.例1．求矩阵A的特征值与特征向量.5-131解：矩阵的特征方程为|lE-A|-5l+1l-3-1(l-4)(l+2)0，矩阵A的特征值为l14，l2-2.对于特征值l14，解齐次线性方程组(4E-A)Xo，得其基础解系为，11于是，矩阵A对应于l14的全部特征向量为111c(c1不为0).-54+14-3-1其基础解系为．11(1)对于矩阵A及特征值l14，解齐次线性方5-131程组(lE-A)XO．4E-A因为特征矩阵-551-1001-1，所以齐次线性方程组(4E-A)XO的一般解为x1x2，例1．求矩阵A的特征值与特征向量.5-131解：矩阵的特征方程为|lE-A|-5l+1l-3-1(l-4)(l+2)0，矩阵A的特征值为l14，l2-2.对于特征值l2-2，解齐次线性方程组(-2E-A)Xo，得其基础解系为，1-5于是，矩阵A对应于l2-2的全部特征向量为-512c(c2不为0).方程|lE-A|0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.-5-2+1-2-3-1其基础解系为．1-5(2)对于矩阵A及特征值l2-2，解齐次线性方5-131程组(lE-A)XO．-2E-A因为特征矩阵-5-1-5-10011/5，所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为x1(-1/5)x2，例2.求矩阵A163-3-6-5343的特征值与特征向量.|lE-A|l-1-6-336l+5-3l-4-3(l+2)2(l-4)0，矩阵A的特征值为l1l2-2,l34.对于特征值l1l2-2,解线性方程组(-2E-A)Xo,解：矩阵的特征方程为l+20l+236l+5-3l-4-310136l+5-3l-4-3=(l+2)得其基础解系及，110-101110-101c1+c2于是，A的对应于l1l2-2的全部特征向量为(c1,c2不全为0).(5)对于矩阵A及特征值l-2,解齐次线性方163-3-6-5343程组(lE-A)XO．因为特征矩阵-2E-A100-100100，-2-1-6-336-2+5-3-2-4-3-3-6-3363-3-6-3所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为x1x2-x3，基础解系为，．110-101对于特征值l34，解线性方程组(4E-A)Xo，得其基础解系，112于是，A的对应于l34的全部特征向量为l-1-6-336l+5-3l-4-3解：矩阵的特征方程为(l+2)2(l-4)0，矩阵A的特征值为l1l2-2,l34.|lE-A|例2.求矩阵A163-3-6-5343的特征值与特征向量.(c3不为0).2113c例3．试证：n阶O矩阵的特征值为零.证：由|lE-O||lE|=ln0，必有l0.1212(,,,)0(,,,)0nnEdiagdiagllllllllll----问题：对角矩阵的特征值是什么？例4．试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.证：必要性.如果A是奇异矩阵，则|A|0.于是|0E-A||-A|(-1)n|A|0，即0是A的一个特征值.充分性.设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1.由定义，有AX10X1o(X1o)，所以齐次线性方程组AXo有非零解X1,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵.性质1设X1,X2,…,Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量,如果它们的线性组合k1X1+k2X2+…+kmXm≠o,则k1X1+k2X2+…+kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量．性质2如果n阶方阵A的全部特征值为l1,l2,,ln(k重特征值算作k个特征值)，则①l1+l2++ln=Tr(A);其中,Tr(A)=a11+a22+a33+……＋ann,称为矩阵A的迹.②l1l2ln＝|A|．2特征值与特征向量的性质证明:由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|≠0，则A的任一个特征值都不为零．若X是A的属于特征值l的特征向量，则AＸ＝lＸ，两端同乘A-1,并整理得A-1X=l-1Ｘ,即l-１是A-１的特征值，X也是A-１的对应于l-１的特征向量.性质3设l是可逆方阵A的一个特征值，X是它对应的特征向量，则l0，l-1是A-1的一个特征值，且X也是A-1的对应于l-1的特征向量．性质4设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．证明:由于AＸ＝lＸ，两端都左乘A得A2Ｘ＝lAＸ,把AＸ＝lＸ代入上式得A2Ｘ＝l(lＸ)l2Ｘ，依次类推可得AmＸ＝lmＸ，即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．推论设l是方阵A的一个特征值(m为正整数)，则0111kkkkmmmm++++--lllEkAkAkAkmmmm0111++++--性质4设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．特征值为性质5n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2，，lm，对应的特征向量X1，X2，，Xm线性无关．性质6设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值．即A与AT有相同的特征多项式，|lE-A|，|(lE-A)T||lE-AT|由(lE-A)TlE-AT有证明：所以它们的特征值相同．证明:因为A2=A，所以A2X-AX=o,设X对应的特征值为l，则可得l2X-lX=o，解得l1＝0，l2＝1.证毕.例6.设3阶矩阵A的三个特征值分别为l11,l20,l3-1,求矩阵BA2+3A+2E的特征值.例5.设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.解：令B=f(A)=A2+3A+2E，则由性质4之推论可知f(l)是f(A)的特征值，从而得矩阵B的三个特征值分别为：221113213126ll++++222223203022ll++++2233332(1)3(1)20ll++-+-+①已知三阶方阵A的三个特征值为１，-２，３．则|A|＝（），A-１的特征值为（），AT的特征值为（），A2+2A+E的特征值为（）．②设Ak=O，k是正整数，则A必有一特征值为（）．③若A2＝A，则A的特征值为（）．④设A是3阶方阵，已知方阵E-A，E+A，3E-A都不可逆，则A的特征值为（）．⑤已知三阶矩阵A的特征值为１，-１，２，则｜A-5E｜＝（）．-6１,-1/2,1/3１,-２,３4,1,1600,11,-1,3-72练习题-11-4103020作业：求矩阵A的特征值与特征向量.4.2相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件1相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则A~C定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.证明：因为P-1APB，A与B有相同的特征多项式，|lE-B||P-1(lE)P-P-1AP||lE-P-1AP||P-1(lE-A)P||P-1||lE-A||P||lE-A|，所以它们有相同的特征值.定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.假如A与对角矩阵相似，对角矩阵对角线上的元素即A的特征值注：有相同的特征多项式的方阵不一定相似.例：11100101AE，特征多项式均为(l-1)2,但不存在P-1EP=A.相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(2)相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵的迹相等；定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.(4)Am~Bm,m为正整数.解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.223112,34AByx例1.若矩阵相似，求x,y.2214,223146xxy++--17.12xy--解得110220003D-例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵Ldiag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件例如，矩阵A有两个不同的特征值l14,l2-2,1-511其对应特征向量分别为x1，x2.11-51取P(x1,x2)，则1-511所以A与对角矩阵相似.P-1AP-11-5-116-—5-1311-5110-240，问题：若取P(x2,x1)，问L？20.04-L＝称为A可对角化推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵Ldiag(l1,l2,,ln)相似.注意A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件.且有Ax1-2x1，Ax2x2，Ax3x3，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P(x1